MATEMANIJA

Izracunati:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1
\end{vmatrix}[/dispmath] Jasno mi je da je ovo rekurzivna determinanta, te da se razvojem po prvoj vrsti dobija [inlmath]D_n=D_{n-1}-D_{n-2}[/inlmath], i da onda trazim rjesenja jednacine [inlmath]\lambda^2-\lambda+1=0[/inlmath]. Tu nastaje problem, jer bi rjesenja ove jednacine bila kompleksna, pa sa tim ne mogu da primjenim one formule za rjesavanje determinante. Asistent mi rece da postoje te formule i da to nije problem mada nam ih nikad nije spominjao, kao i da se moze raditi preko onih uobicajenih formula iako bi tako bilo vise posla. Zna li neko te formule koje bi mi pomogle da dodjem do rjesenja?

Poputno je isti postupak kao i kad su koreni karakteristične jednačine realni, jedino što ovde vodiš računa da će koeficijenti u izrazu za opšte rešenje takođe biti kompleksni. Uvrštavanjem [inlmath]D_1=1[/inlmath] i [inlmath]D_2=0[/inlmath] dobićeš sistem od dve jednačine od dve nepoznate, iz kojeg odrediš vrednosti tih kompleksnih koeficijenata, tj. nađeš partikularno rešenje.

Znaci, ako bi ja koristio standardni postupak i ako bi imao [inlmath]\lambda_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3\imath}{2}[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3\imath}{2}[/inlmath]. Dobio sam [inlmath]k_1=\frac{3-\sqrt3\imath}{6}[/inlmath] i [inlmath]k_2=\frac{3+\sqrt3\imath}{6}[/inlmath]. I onda koristeci formulu rjesenje determinante je
[dispmath]D_n=\frac{3-\sqrt3\imath}{6}\left(\frac{1+\sqrt3\imath}{2}\right)^n+\frac{3+\sqrt3\imath}{6}\left(\frac{1-\sqrt3\imath}{2}\right)^n[/dispmath] Mozda nije najljepse rjesenje, ali se bar nadam da nije pogresno.

Tačno je rešenje.
Primetićeš da koeficijenti [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] čine konjugovano-kompleksni par, a pošto su brojevi kojima se oni množe ([inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath]) takođe konjugovano-kompleksni, rezultat koji si dobio biće realan za svako [inlmath]n[/inlmath] (i to ne samo za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], već i kad bi bilo [inlmath]n\in\mathbb{R}[/inlmath]).

Ovo je zapravo slučaj uvek kad određujemo koeficijente uz [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] pri čemu su [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] konjugovano-kompleksni. Ukoliko želiš malo da se igraš, možeš pokušati da izvedeš formulu i za opšti slučaj, gde će ti biti [inlmath]\lambda_1=\mu-i\nu[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2=\mu+i\nu[/inlmath]. Postavljanjem početnih uslova, pri čemu ti je poznato [inlmath]D_1[/inlmath] i [inlmath]D_2[/inlmath], dobićeš sistem dve jednačine s dve nepoznate, čijim se rešavanjem dobiju koeficijenti [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] i na kraju, njihovim uvrštavanjem u [inlmath]D_n=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2[/inlmath], konačno se dobije [inlmath]D_n=\frac{\nu D_1+i(D_2-\mu D_1)}{2\nu}(\mu-i\nu)^{n-1}+\frac{\nu D_1-i(D_2-\mu D_1)}{2\nu}(\mu+i\nu)^{n-1}[/inlmath].
(Ne znam da li je to ta formula za slučaj kompleksnih korena na koju je asistent mislio, ali ja se lično ne bih trudio da je zapamtim, već bih radio na „standardan“ način, na koji si ti upravo odradio.)

E, iz ovog opšteg oblika upravo se vidi da i koeficijenti, isto kao i rešenja, predstavljaju konjugovano-kompleksni par, pa će ovaj zbir proizvoda (koji je oblika [inlmath]z_1\cdot z_2+\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}[/inlmath]) uvek biti realan.

---

Što se tiče rešenja koja si dobio, da, može se još malo uprostiti ukoliko lambde predstaviš preko trigonometrijskog oblika, a zatim unakrsno izmnožiš, nakon čega će se štošta pokratiti. Treba da se dobije [inlmath]D_n=\cos\frac{n\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{3}\sin\frac{n\pi}{3}[/inlmath], odakle se odmah može uočiti periodičnost s periodom [inlmath]6[/inlmath], što znači da se rezultat može predstaviti i na sledeći način:
[dispmath]D_n=\begin{cases}
1, & n=6k+1\;\lor\;n=6k+6\\
0, & n=6k+2\;\lor\;n=6k+5\\
-1, & n=6k+3\;\lor\;n=6k+4
\end{cases}\quad(k\in\mathbb{N_0})[/dispmath]