MATEMANIJA

Neka su [dispmath]A,E\in M_{(n\times n)}[/dispmath] i [dispmath](A+E)^3=0.[/dispmath] Pokazati da je [inlmath]A[/inlmath] regularna matrica i odrediti [inlmath]A^{-1}[/inlmath].

Ja sam pronasao nesto na internetu da ako nula nije sopstvena vrijednost onda je matrica regularna, i onda normalno pomnozimo jednacinu sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath], a naravno prije toga razvijemo ovo u zagradi. Mada nisam siguran da li je to tacno, i kako se uopste dokazuje da nula nije sopstvena vrijednost matrice?

Tako je, matrica je regularna po definiciji ako je [inlmath]\det A\neq0[/inlmath], a to je ekvivaletno sa tim da [inlmath]0[/inlmath] nije sopstvena vrednost matrice [inlmath]A[/inlmath] (sto se vidi iz toga da je [inlmath]\det(A)=\det(A-0\cdot E)[/inlmath]). Sad, ako razvijes relaciju koja ti je data mozes primetiti da vazi [inlmath]A(-A^2-3A-3E)=E[/inlmath], a onda i [inlmath]\det A\cdot\det(-A^2-3A-3E)=\det E=1[/inlmath] (po Binet-Kosijevoj teoremi), odakle rezultat sledi. Takodje, zbog jedinstvenosti inverzne matrice (egzistenciju imamo jer je [inlmath]A[/inlmath] regularna) vidimo odmah i cemu je jednaka sama inverzna matrica [inlmath]A^{-1}[/inlmath].

Hvala puno!