MATEMANIJA

[dispmath]\begin{bmatrix}
3 & 0 & -4\\
0 & 2 & 0\\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}[/dispmath] Za datu matricu potrebno je naci karakteristicni polinom.

Pitanje:

Da li mogu da primenim pravilo da jednu vrstu ili kolonu pomnozim nekim brojem i dodam drugoj vrsti ili kolonu? U ovom slucaju sabrao bih prvu i trecu kolonu kako bi dobio [inlmath]\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -4\\
0 & 2 & 0\\
0 & 3 & -1
\end{bmatrix}[/inlmath] i sada bi razvio det po [inlmath]-1[/inlmath] kada bih sve sredio resenje mi je [inlmath](-1-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda)[/inlmath] odnosno [inlmath](-1-\lambda)^2(2-\lambda)[/inlmath] ali ovo je netacno jer treba da se dobije [inlmath](2-\lambda)(\lambda-1)^2[/inlmath] Gde gresim?

Greška je u tome što si prvo primenio elementarne transformacije na matricu [inlmath]A[/inlmath], a tek onda od nje oduzeo [inlmath]\lambda I[/inlmath]. Time se za vrednost determinante ne dobije isto što bi se dobilo obrnutim, ispravnim redosledom (prvo oduzimanje [inlmath]\lambda I[/inlmath] pa zatim elementarne transformacije).
Tačno je da se primenom elementarnih transformacija na matricu [inlmath]A[/inlmath] ne menja vrednost njene determinante, ali ti ovde ne određuješ [inlmath]\det A[/inlmath], već određuješ [inlmath]\det(A-\lambda I)[/inlmath]. To znači, elementarne transformacije smeš primenjivati tek na [inlmath]A-\lambda I[/inlmath].

Znači – prvo oduzmeš [inlmath]\lambda I[/inlmath], pa tek zatim, eventualno, elementarne transformacije (mada elementarnim transformacijama ne bi bogzna šta dobio, sasvim se lako izračuna determinanta i bez njih).

hvala, to mi je razjasnilo neke stvari.
Ali nikako da resim ovo, evo postupno kako radim mozda vidite gde gresim
[dispmath]\begin{bmatrix}
3 & 0 & -4\\
0 & 2 & 0\\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3-\lambda & 0 & -4\\
0 & 2-\lambda & 0\\
1 & 3 & -1-\lambda
\end{bmatrix}=(3-\lambda)\begin{bmatrix}
2-\lambda & 0\\
3 & -1-\lambda
\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}
0 & -4\\
2-\lambda & 0
\end{bmatrix}=\\
=(3-\lambda)\left(-2-2\lambda+\lambda+\lambda^2\right)+8-4\lambda=(3-\lambda)\left(\lambda^2-\lambda-2\right)+8-4\lambda=\\
=\left(3\lambda^2-3\lambda-6-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda\right)+8-4\lambda=-\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2[/dispmath] Sada sam pokusavao da faktorisem polinom tj. pomocu bezuove teoreme delio sam ga sa [inlmath](\lambda-1)[/inlmath] (jer je za vrednost [inlmath]\lambda=1[/inlmath] polinom [inlmath]0[/inlmath]) ali bezuspesno ne dobijam ni priblizno tacnom resenju a treba da se dobije na kraju [inlmath](2-\lambda)(\lambda-1)^2[/inlmath]

ok, provalio sam da polinom ima jos jednu nulu [inlmath](\lambda-1)(\lambda-2)[/inlmath] Znaci sada treba da podelim [inlmath]-\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2[/inlmath] sa [inlmath](\lambda-1)(\lambda-2)[/inlmath] ali kako? Da prvo pomnozim pa posle delim ili sta? Nikako da dobijem tacno resenje

mladenius je napisao:[dispmath]\begin{bmatrix}
3 & 0 & -4\\
0 & 2 & 0\\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3-\lambda & 0 & -4\\
0 & 2-\lambda & 0\\
1 & 3 & -1-\lambda
\end{bmatrix}=\cdots[/dispmath]

Ova jednakost, naravno, nije tačna – ali bi bila tačna ovako napisana jednakost:
[dispmath]\begin{bmatrix}
3 & 0 & -4\\
0 & 2 & 0\\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}-\lambda I=\begin{bmatrix}
3- \lambda & 0 & -4\\
0 & 2- \lambda & 0\\
1 & 3 & -1- \lambda
\end{bmatrix}[/dispmath]

mladenius je napisao:[dispmath]\cdots=\begin{bmatrix}
3-\lambda & 0 & -4\\
0 & 2-\lambda & 0\\
1 & 3 & -1-\lambda
\end{bmatrix}=(3-\lambda)\begin{bmatrix}
2-\lambda & 0\\
3 & -1-\lambda
\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}
0 & -4\\
2-\lambda & 0
\end{bmatrix}=\cdots[/dispmath]

Ovo se ne sme ovako pisati. Ovakav razvoj smeo bi se primeniti na determinantu, ali ovako kako si je obeležio (s uglastim zagradama) to je matrica, a matrica se ne može ovako razvijati. Pravilan zapis bi bio sledeći:
[dispmath]\begin{vmatrix}
3-\lambda & 0 & -4\\
0 & 2-\lambda & 0\\
1 & 3 & -1-\lambda
\end{vmatrix}=(3-\lambda)\begin{vmatrix}
2-\lambda & 0\\
3 & -1-\lambda
\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}
0 & -4\\
2-\lambda & 0
\end{vmatrix}[/dispmath]

mladenius je napisao:[dispmath]\cdots=(3-\lambda)\begin{bmatrix}
2-\lambda & 0\\
3 & -1-\lambda
\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}
0 & -4\\
2-\lambda & 0
\end{bmatrix}=(3-\lambda)\left(-2-2\lambda+\lambda+\lambda^2\right)+8-4\lambda=\cdots[/dispmath]

Ista primedba kao malopre.

mladenius je napisao:[dispmath]\cdots=-\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2[/dispmath]

To je tačan rezultat, što se može i proveriti (ukoliko unapred znaš šta treba da dobiješ kao nule polinoma) uvrštavanjem [inlmath]\lambda=1[/inlmath] i [inlmath]\lambda=2[/inlmath], kao i uvrštavanjem [inlmath]\lambda=1[/inlmath] u prvi izvod ovog polinoma (budući da je [inlmath]\lambda=1[/inlmath] dvostruka nula).

mladenius je napisao:Sada sam pokusavao da faktorisem polinom tj. pomocu bezuove teoreme delio sam ga sa [inlmath](\lambda-1)[/inlmath] (jer je za vrednost [inlmath]\lambda=1[/inlmath] polinom [inlmath]0[/inlmath]) ali bezuspesno ne dobijam ni priblizno tacnom resenju a treba da se dobije na kraju [inlmath](2-\lambda)(\lambda-1)^2[/inlmath]

Deljenjem [inlmath](-\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2)[/inlmath] sa [inlmath](\lambda-1)[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]-\lambda^2+3\lambda-2[/inlmath]. Ako si dobio nešto drugo, proveri svoj postupak, ili ga napiši ovde, pa da potražimo grešku. O deljenju polinoma imaš ovde.
Nakon što dobiješ polinom drugog reda (tj. kvadratni trinom), njega nije problem faktorisati, tako što odrediš njegove nule pomoću [inlmath]\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath], pa ga zatim napišeš kao [inlmath]a(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)[/inlmath]...

Molim te, nemoj nepotrebno citirati celu poslednju poruku. To narušava preglednost teme.

Nasao sam gresku. Kada delim pisem bespotrebno [inlmath]+[/inlmath] koji se menjaju se u [inlmath]-[/inlmath] ili obrnuto i tako sam sebe zbunim i normalno pogresim... Od sada delim polinome onako kao sto si ti objasnio. Hvala puno