MATEMANIJA

Ustanoviti da li postoji matrica [inlmath]A \in M_2(R)[/inlmath] razlicita od jedinicne takva da je [inlmath]A^{11} = I[/inlmath]. Da li postoji simetricna matrica [inlmath]A \in M_2(R)[/inlmath] razlicita od jedinicne takva da je [inlmath]A^{11} = I[/inlmath].

Prvo na pamet mi pada matrica rotacije, cini mi se da bi ona mogla zadovoljiti dati uslov za prvi dio zadatka, ali i pored toga imam problema sa implementacijom. U drugom djelu imam poteskoca u saznavanju kako simetricnost utice na stvari, da li mozda simetricne matrice zbog nekog razloga ne mogu zadovoljavati ovaj uslov. To je samo osjecaj sve sugestije su dobro dosle

Odlično si se setio matrice rotacije. Ne vidim u čemu je sada problem da nađeš ugao [inlmath]\theta[/inlmath] za koji je [inlmath](R_\theta)^{11}= I[/inlmath]. Da bi odgovorio na pitanje o simetričnim matricama, iskoristi naredno tvrđenje: Svaka realna simetrična matrica je slična nekoj dijagonalnoj matrici.

To tvrdjenje vrijedi, da li mogu ici putem da kazem da postoji simetricna matrica koja je slicna matrici rotacije, ali mislim da bi matricu rotacije mogao dijagonalizovati iskljucivo na polju kompleksnih brojeva, jer u vecini slucajeva matrica rotacije bi imala kompleksne sopstvene vrijednosti.

Ne, ne, operator rotacije u opštem slučaju nije simetričan, pa samim tim ni njegova matrica nije slična nijednoj simetičnoj matrici. Uostalom, kako si i sam naveo operator rotacije skoro uvek ima kompleksne sopstvene vrednosti. Da je simetričan, po tvrđenju koje sam naveo, morao bi da ima realne sopstvene vrednosti.

Da bi odgovorio na pitanje o simetričnim matricama, nisu ti potrebne matrice rotacije. Dovoljno je samo primeniti tvrđenje koje sam naveo u prošlom odgovoru.

Ako je [inlmath]A[/inlmath] simetricna matrica neka [inlmath]D[/inlmath] bude njena slicna dijagonalna matrica.[dispmath]A^{11} = I[/dispmath][dispmath](SDS^{-1})^{11}=I[/dispmath][dispmath]SD^{11}S^{-1}=I[/dispmath][dispmath]D^{11} = I[/dispmath]
Posto je matica [inlmath]D[/inlmath] 2x2 ima dva elementa na dijagonali [inlmath]a_{11}[/inlmath] i [inlmath]a_{22}[/inlmath]. Da bi se ispostovala jednakost oni moraju biti jednaki [inlmath]\sqrt[11]{1}[/inlmath], a posto je 1 jedini realan korijen a simetricna matrica ima samo realne spostvene vrijednosti, zakljucujemo da nijedna simetricna matrica sem jedinicne ne zadovoljava ovu jednakost.

To je to.