MATEMANIJA

Neka su zadati vektori [inlmath]a,b,c,d[/inlmath] i zadat je operator [inlmath]A\colon R^4\to R^4,[/inlmath] [inlmath]A(x)=\langle a,x\rangle b+\langle b,x\rangle a[/inlmath] gdje je [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]R^4[/inlmath].
a) Ukoliko su vektori [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iste duzine (norme), dokazati da je njihov zbir sopstveni vektor vektora [inlmath]A[/inlmath] i naci njegove sopstvene vrijednost.
b) Ukoliko vektori [inlmath]a,b,c,d[/inlmath] cine ortonormiranu bazu, naci sliku vektora [inlmath]a-b[/inlmath].
Nemam ideju na koji nacin ovo uraditi

Evo, na primer, za deo pod a) potrebno je da pokazes da postoji [inlmath]\lambda \in\mathbb{R}[/inlmath] takvo da je [inlmath]A(a+b)=\lambda(a+b).[/inlmath] Takodje, dato je da je [inlmath]\|a\|=\|b\|,[/inlmath] a znas i da je norma indukovana skalarnim proizvodom, tj. da je [inlmath]\|a\|^2 = \langle a,a\rangle.[/inlmath] Sada iskoristi osobine skalarnog proizvoda kako bi nasao trazenu sopstvenu vrednost za sopstveni vektor [inlmath]a+b.[/inlmath]