MATEMANIJA

Neka je matrica [inlmath]A[/inlmath] zapis nekog linearnog preslikavanja [inlmath]\mathcal{A}\colon U\to V[/inlmath]. Dokazati da je svaki vektor iz [inlmath]R(A)[/inlmath] slika tačno jednog vektora iz [inlmath]R\left(A^T\right)[/inlmath].

Znam da je [inlmath]R\left(A^T\right)[/inlmath] ortogonalni komplement od [inlmath]N(A)[/inlmath], što znači da se nijedan vektor iz [inlmath]R\left(A^T\right)[/inlmath] neće slikati u nula vektor osim samog nula vektora. Ali ovo mi nije dovoljno da bih pokazao da je svaki vektor iz [inlmath]R(A)[/inlmath] slika tačno jednog vektora iz [inlmath]R\left(A^T\right)[/inlmath], zašto ne bi mogla dva ili više da se slikaju u jedan iz [inlmath]R(A)[/inlmath]?

Ako bi postojala dva vektora iz [inlmath]R(A^T)[/inlmath] sa tom osobinom, onda bi njihova razlika takodje pripadala [inlmath]R(A^T)=N(A)^{\perp}.[/inlmath] Sa druge strane, kako ta dva vektora imaju istu sliku, to je onda slika razlike ta dva vektora nula vektor, tj. ta razlika pripada [inlmath]N(A)[/inlmath]. Iz prethodnog dobijamo da onda ta razlika mora biti bas nula vektor, tj. da su u pitanju isti vektori.