MATEMANIJA

Pozdrav. Imam problem oko sledeceg zadatka. Glasi: Neka je [inlmath]a[/inlmath] fiksiran vektor realnog vektorskog prostora [inlmath]E[/inlmath], a [inlmath]\beta[/inlmath] fiksiran broj. Da li je skup [inlmath]L=(x\in E\mid(x,a)=\beta)[/inlmath] potprostor prostora [inlmath]E[/inlmath]?
Treba se dokazati da za proizvoljne skalare [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath] i vektore [inlmath]x,y[/inlmath] vazi [inlmath]\alpha a+\beta b\in L[/inlmath]. To shvatam, ali ne znam kako da od toga dobijem uslov zadatka u kojem su intervali? Hvala svima unapred.

Pretpostavljam da ovaj skup tacnije glasi [inlmath]L=\{x\in E\mid \langle x,a\rangle =\beta\}.[/inlmath] Odnosno da se ne radi o nekom intervalu [inlmath](x,a)[/inlmath] (sta je interval od matrice do matrice na primer?), vec da je to skalarni proizvod. Sad se brzom proverom lako odgovara na pocetno pitanje. Inace ne bih oznacavao skalare sa [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta,[/inlmath] jer je [inlmath]\beta[/inlmath] vec fiksirano u zadatku, pa da ne dodje do zabune. Bolje [inlmath]\alpha_1[/inlmath] i [inlmath]\alpha_2[/inlmath] ili nekako drugacije.

Da, u pravu si. Nije mi palo na pamet da je u pitanju skalarni proizvod. I da prepravila sam sad u [inlmath]\alpha_1,\alpha_2[/inlmath] i dobijem da je to [inlmath]\beta(\alpha_1+\alpha_2)[/inlmath], sto ne bi trebalo da je potprostor?

Da, tako je, nije vektorski potprostor od [inlmath]E[/inlmath] jer [inlmath]\beta(\alpha_1+\alpha_2)[/inlmath] nije jednako [inlmath]\beta[/inlmath] za svaki izbor [inlmath]\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}.[/inlmath] Izuzetak je jedino ako je [inlmath]\beta=0[/inlmath] (taj potprostor se zna koji je, jer je to onda skup svih vektora ortogonalnih na vektor [inlmath]a,[/inlmath] odnosno [inlmath]\{a\}^\perp[/inlmath]).