MATEMANIJA

Zdravo svima,
Imam problem u vezi sledeceg zadatka: U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}^{2\times4}[/inlmath] ispitati linearnu zavisnost vektora:
[dispmath]X_1=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]X_2=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 & 0\\
3 & -1 & 1 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]X_3=\begin{bmatrix}
3 & 0 & 5 & 0\\
-3 & 5 & -1 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] Naime, zbunjuje me to sto se trazi ispitivanje linearne zavisnosti vektora, medjutim, date su matrice. Da li je potrebno po jednu vrstu iz svake matrice ispitati medjusobno ili se mozda misli na ispitivanje svake matrice na neki nacin, mada iskreno nemam ideju kako bih ovo uradio?

I matrice su vektori. To možeš lako da proveriš (seti se samo definicije vektorskog prostora).
Prostor matrica [inlmath]M_{2\times 4}[/inlmath] je u suštini isti kao prostor [inlmath]\mathbb{R}^8[/inlmath]. Matricu
[dispmath]X = \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ \end{bmatrix},[/dispmath]
možeš shvatiti kao vektor
[dispmath]x = (a, b, c, d, e, f, g, h).[/dispmath]
Dalje ispituješ linearnu nezavisnost kako si to do sada radio.

Hvala puno na odgovoru. U sustini zadatak nije tezak samo je bilo potrebno ovo shvatiti.

Odradicu zadatak do kraja ako nekome nekad bude bilo potrebno.
[dispmath]\alpha_1\cdot X_1+\alpha_2\cdot X_2+\alpha_3\cdot X_3=0[/dispmath][dispmath]\alpha_1\cdot(1,0,3,0,0,2,0,0)+\alpha_2\cdot(-1,0,1,0,3,-1,1,0)+\alpha_3\cdot(3,0,5,0,-3,5,-1,0)=0[/dispmath][dispmath](\alpha_1,0,3\alpha_1,0,0,2\alpha_1,0,0)+(-\alpha_2,0,\alpha_2,0,3\alpha_2,-\alpha_2,\alpha_2,0)+(3\alpha_3,0,5\alpha_3,0,-3\alpha_3,5\alpha_3,-\alpha_3,0)=0[/dispmath] Odavde se dobija [inlmath]8[/inlmath] jednacina:
[dispmath]\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+0+0=0[/dispmath][dispmath]3\alpha_1+\alpha_2+5\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+0+0=0[/dispmath][dispmath]0+3\alpha_2-3\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]2\alpha_1-\alpha_2+5\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+\alpha_2-\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+0+0=0[/dispmath] Odavde se moze izvuci nekoliko jednacina:
[dispmath]\alpha_2=\alpha_3[/dispmath][dispmath]\alpha_1=-2\alpha_3[/dispmath] Za [inlmath]p\in\mathbb{R},\;p\ne0[/inlmath] vektori su linearno zavisni:
[dispmath]\alpha_3=\alpha_2=p[/dispmath][dispmath]\alpha_1=-2p[/dispmath] Oblik linearne zavisnosti je: [inlmath]-2pX_1+pX_2+pX_3=0[/inlmath].
Za [inlmath]p=0[/inlmath], vektori su linearno nezavisni.

Bio bih zahvalan ako me ispravite, ukoliko ste uocili neku gresku. Takodje se izvinjavam zbog duplog posta, ali isteklo mi je vreme izmene poslednjeg posta.

DraganKese je napisao:Za [inlmath]p\in\mathbb{R},\;p\ne0[/inlmath] vektori su linearno zavisni:
[dispmath]\alpha_3=\alpha_2=p[/dispmath][dispmath]\alpha_1=-2p[/dispmath] Oblik linearne zavisnosti je: [inlmath]-2pX_1+pX_2+pX_3=0[/inlmath].
Za [inlmath]p=0[/inlmath], vektori su linearno nezavisni.

Linearna (ne)zavisnost ovih vektora ne može zavisiti ni od kakvog parametra, budući da nikakav parametar ne figuriše u njihovim koordinatama. Znači, ovi vektori ili su linearno nezavisni, ili su linearno zavisni, a to je ono što se u zadatku ispituje.

Definicija linearne zavisnosti sasvim je jasna. Ako za jednačinu koju si postavio postoji rešenje po [inlmath]\alpha_1[/inlmath], [inlmath]\alpha_2[/inlmath] i [inlmath]\alpha_3[/inlmath], pri čemu ne važi [inlmath]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0[/inlmath] (jer bi to onda bilo trivijalno rešenje) – vektori su linearno zavisni. U suprotnom, ako takvo rešenje ne postoji (tj. ako postoji samo trivijalno rešenje), vektori su linearno nezavisni.

Ispravnije bi bilo reći da se za [inlmath]p=0[/inlmath] dobija trivijalno rešenje po [inlmath]\alpha_1[/inlmath], [inlmath]\alpha_2[/inlmath] i [inlmath]\alpha_3[/inlmath], a za [inlmath]p\ne0[/inlmath] imamo netrivijalna rešenja, što znači da su vektori linearno zavisni.