MATEMANIJA

Dobar dan, gospodo!

Imam pitanje u vezi binarnih operacija, ocigledno... Zanima me prvenstveno da li ja tretiram sam pojam (binarne operacije) na adekvatan nacin? Ja to posmatram kao operaciju koja se odnosi na dve vrednosti, brojeve ili bilo sta drugo unutar nekog proizvoljnog skupa.. Kako mozemo imati samo jednu binarnu operaciju, dve, tri i tako dalje... To me pomalo buni posto je apstraktno. Kako se cita ovo? [inlmath]\ast\;\colon\;S^2\longrightarrow S[/inlmath]

Ovo bi trebalo oznacavati preslikavanje, mada je navodno ovaj eksponent ono sto utice na to da li je operacija binarna... Pa znaci da moze biti i unarna... pa sada ostajem u nedoumici sta je to, odnosno zasto je to binarna operacija? ipak ne zavisi od broja clanova na koje se odnosi vec nesto drugo. Svaka je pomoc dobrodosla, povezujem to polako vec bolje ali ovde sam ozbiljno zakocio.

Griezzmiha je napisao:Zanima me prvenstveno da li ja tretiram sam pojam (binarne operacije) na adekvatan nacin? Ja to posmatram kao operaciju koja se odnosi na dve vrednosti, brojeve ili bilo sta drugo unutar nekog proizvoljnog skupa..

Da, binarna operacija za određena dva objekta (zato i jeste binarna) daje neki novi objekat, koji se naziva rezultat operacije.
Npr. binarne operacije nad realnim brojevima su sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, stepenovanje...
Binarne operacije nad logičkim iskazima su konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija...
Binarne operacije nad skupovima su unija, presek, razlika skupova...
Dakle, od neka dva objekta (pri čemu je u opštem slučaju bitan njihov redosled, što znači uređeni par), pri čemu objekat može biti brojna vrednost, logički iskaz, skup... dobijamo novi objekat koji predstavlja rezultat binarne operacije.
Binarne operacije se mogu prikazati tabelarno, npr.:

• Operacija sabiranja po modulu [inlmath]3[/inlmath] nad skupom [inlmath]\{0,1,2\}[/inlmath]
  [dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|}
  + & 0 & 1 & 2\\ \hline
  0 & 0 & 1 & 2\\ \hline
  1 & 1 & 2 & 0\\ \hline
  2 & 2 & 0 & 1\\ \hline
  \end{array}[/dispmath]
• Operacija konjunkcije nad skupom [inlmath]\{\top,\bot\}[/inlmath]
  [dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
  \land & \top & \bot\\ \hline
  \top & \top & \bot\\ \hline
  \bot & \bot & \bot\\ \hline
  \end{array}[/dispmath]

Griezzmiha je napisao:Kako mozemo imati samo jednu binarnu operaciju, dve, tri i tako dalje...

Zavisi koliko ih definišemo nad nekim skupom. Nad skupom od [inlmath]n[/inlmath] elemenata možemo definisati najviše [inlmath]n^{n^2}[/inlmath] binarnih operacija. Zašto baš [inlmath]n^{n^2}[/inlmath] – pa, ako posmatramo tabelarni prikaz, za opisivanje svake od mogućih binarnih operacija nad skupom od [inlmath]n[/inlmath] elemenata, imamo tabelu [inlmath]n\times n[/inlmath], tj. tabelu koja ima [inlmath]n^2[/inlmath] polja. Svako od tih polja možemo popuniti nekim od [inlmath]n[/inlmath] članova skupa. Broj različitih binarnih operacija koje se mogu definisati nad tim skupom biće jednak broju različitih načina popunjavanja te tabele, a to je broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]n[/inlmath] elemenata klase [inlmath]n^2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]\overline V_n^{n^2}=n^{n^2}[/inlmath] mogućih binarnih operacija.
Npr. nad skupom od samo dva elementa možemo definisati [inlmath]2^{2^2}=16[/inlmath] različitih binarnih operacija.
Nad skupom od tri elementa možemo definisati [inlmath]3^{3^2}=19683[/inlmath] različitih binarnih operacija.

Griezzmiha je napisao:Kako se cita ovo? [inlmath]\ast\;\colon\;S^2\longrightarrow S[/inlmath]

Operacija [inlmath]\ast[/inlmath] preslikava svaki član Dekartovog proizvoda [inlmath]S\times S[/inlmath] u odgovarajući član skupa [inlmath]S[/inlmath].
U gornjem primeru s operacijom konjunkcije: Dekartov proizvod skupa [inlmath]\{\top,\bot\}[/inlmath] ima četiri elementa: [inlmath]\{(\top,\top),(\top,\bot),(\bot,\top),(\bot,\bot)\}[/inlmath]. Pri tome, operacija konjunkcije preslikava element Dekartovog proizvoda [inlmath](\top,\top)[/inlmath] u [inlmath]\top[/inlmath], dok elemente Dekartovog proizvoda [inlmath](\top,\bot)[/inlmath], [inlmath](\bot,\top)[/inlmath] i [inlmath](\bot,\bot)[/inlmath] preslikava u [inlmath]\bot[/inlmath].

Griezzmiha je napisao:Ovo bi trebalo oznacavati preslikavanje, mada je navodno ovaj eksponent ono sto utice na to da li je operacija binarna... Pa znaci da moze biti i unarna...

Jeste, da je npr. pisalo [inlmath]\ast\;\colon\;S^3\to S[/inlmath], to bi označavalo ternarnu operaciju (primer bi bio [inlmath]\max(24,8,41)=41[/inlmath]). Da je pisalo [inlmath]\ast\;\colon\;S\to S[/inlmath], to bi bila unarna operacija. Primer unarne operacije je operacija negacije kod logičkih iskaza, ili operacija komplementa kod skupova, ili kvadratni koren nad skupom nenegativnih brojeva. Dakle, unarna operacija element nekog skupa preslikava u određeni element istog tog skupa.

Zdravo! Imam jednu nedoumicu, od samog jutra sam zbunjena i šta god da radim ne znam da uradim kako treba... Naime, dat je skup [inlmath]S=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\mathbb{Q};\,a,b,c\ne0\}[/inlmath]. Da li je operacija [inlmath]*[/inlmath] definisana sa [inlmath](a,b,c)*(x,y,z)=(ax+bz+cy,\,az+by+cx,\,ay+bx+cz)[/inlmath] jedna binarna operacija na [inlmath]S[/inlmath]?

Pretpostavljam da nije, jer se radi o uređenoj trojki [inlmath]a,b,c[/inlmath], ali sam htela ipak da proverim sa nekim.

P.S. nova sam ovde, još uvek nisam istražila da li i kako mogu formule lepo da se ispišu.

Jeste binarana operacija. Između dva objekta (prve uređene trojke [inlmath]\left (a,b,c \right)[/inlmath] i druge uređene trojke [inlmath]\left (x,y,z \right)[/inlmath] ) definisana je operacija * čiji je rezultat uređena trojka [inlmath]\left (ax+bz+cy, \ \ az+by+cx, \ \ ay+bx+cz \right)[/inlmath]. Npr:


tj.

Rezultat ne mora pripadati skup [inlmath]S[/inlmath]. Ako rezultat uvek pripada skupu [inlmath]S[/inlmath] kažemo da je skup zatvoren u odnosu na datu operaciju (npr. skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja)
Operacija iz tvog primera nema tu osobinu zatvorenosti, jer je:


Moguće osobine operacija su: zatvorenost, komutativnost, asocijativnost, postojanje neutralnog elementa, postojanje inverznog elementa.
Probaj da dokažeš da je operacija iz tvog primera komutativna, tj. da je:

Kao što kolega Fare reče, [inlmath]*[/inlmath] je binarna operacija. Možda te je navelo da pomisliš da je to ternarna operacija jer su njeni operandi uređene trojke racionalnih brojeva. Ali, elementi skupa [inlmath]S[/inlmath] nad kojim je definisana operacija nisu sami racionalni brojevi, već upravo uređene trojke tih brojeva.
Operacija je binarna čim ima dva operanda, a to ovde jeste slučaj – jedan operand je jedna uređena trojka, drugi operand je druga uređena trojka – a obe uređene trojke su elementi posmatranog skupa [inlmath]S[/inlmath].

Primer ternarne operacije nad ovim skupom (obeležimo je npr. sa [inlmath]\triangle[/inlmath]) bio bi:
[dispmath]\triangle\bigl((a,b,c),(x,y,z),(\alpha,\beta,\gamma)\bigr)=(y\alpha+bc,\,x+\gamma,\,a-z\beta\gamma)[/dispmath] jer ta operacija ima tri operanda, tj. tri uređene trojke.

Bojana09 je napisao:P.S. nova sam ovde, još uvek nisam istražila da li i kako mogu formule lepo da se ispišu.

Pročitaj ovo uputstvo (za početak je dovoljno prva dva-tri pasusa).