MATEMANIJA

U ovim zadacima se traži nalaženje rešenja nad poljima [inlmath]\mathbb{Z}_3[/inlmath], odnosno [inlmath]\mathbb{Z}_5[/inlmath] ([inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] - skup celih brojeva):

1. Rešiti sistem
[dispmath]x+2y+z=2\\
3x+7y+4z=7\\
x+4y+6z=19[/dispmath] nad poljem [inlmath]\mathbb{Z}_3[/inlmath].

---

2. Rešiti sistem
[dispmath]x+2y+z=\alpha\\
x+2y-\alpha^2z=3\alpha\\
\alpha x+3\alpha y-\alpha^3z=2\alpha[/dispmath] nad poljem [inlmath]\mathbb{Z}_5[/inlmath] u zavisnosti od parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] koji pripada skupu [inlmath]\mathbb{Z}_5[/inlmath]. Kako da rešim ova dva sistema linearnih jednačina? Da li postoje neka posebna pravila nad ovim celobrojnim poljima (pre svega mislim na standardne operacije kao što su sabiranje, množenje, oduzimanje, deljenje)? Prvi put rešavam ovakav "tip" zadatka i svaka pomoć je dobrodošla.

[dispmath]x+2y+z=2\\
3x+7y+4z=7\\
x+4y+6z=19[/dispmath] Rastavi sistem na parove:
1.
[dispmath]x+2y+z=2\\
3x+7y+4z=7[/dispmath] 2.
[dispmath]x+2y+z=2\\
x+4y+6z=19[/dispmath] Kod prvog para pomnozi sa [inlmath]-3[/inlmath] prvu jednacinu, i saberi sa drugom. Tu bi trebao dobiti [inlmath]y+z=1[/inlmath].
Kod drugog para pomnozi drugu jednacinu sa [inlmath]-1[/inlmath], i saberi sa prvom, trebao bi dobiti [inlmath]-2y-5z=-17[/inlmath].
Sada imas:
[dispmath]y+z=1\\
-2y-5z=-17[/dispmath] Mislim da sada mozes lako doci do rjesenja sistema.

Ja bih ove sisteme (naročito drugi, s parametrom) radio preko Kramerovog pravila.

Hvala puno!!!

Zadatak se ne radi tako, jer je receno da se uradi u polju [inlmath]\mathbb{Z}_3[/inlmath], odnosno [inlmath]\mathbb{Z}_5.[/inlmath] Na primer, za prvi zadatak, kako je [inlmath]\mathbb{Z}_3=\{0,1,2\}[/inlmath] i sve se radi sa ostatkom [inlmath]3[/inlmath], to je sistem zapravo dat sa
[dispmath]x+2y+z=2\\ y+z=1\\ x+y=1,[/dispmath] a kako zbir druge i trece jednacine daje prvu, to je dovoljno resavati sistem od poslednje dve jednacine. Odatle mozes direktno nacin resenja, npr. za [inlmath]y=0[/inlmath] dobijamo [inlmath]z=1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath], dok ako je [inlmath]y=1[/inlmath] onda je [inlmath]z=0[/inlmath] i [inlmath]x=0.[/inlmath] Na kraju, ako je [inlmath]y=2[/inlmath] onda je [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]z=-1,[/inlmath] odnosno [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]z=2[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{Z}_3.[/inlmath]

Za drugi ima vise posla, no pokusaj sam da se izboris prvo (ili ce ti neko drugi pomoci).