MATEMANIJA

Imam problem oko jednog zadatka, došao sam do jednog dela ali ne znam kako dalje...
[dispmath]x+y+Z+t=3\\
x+2y+3Z+t=2\\
3x+4y+aZ+3t=b[/dispmath] Prvu sam prepisao i pomnožio sa [inlmath]-1[/inlmath] i dodao drugoj, i pomnožio sa [inlmath]-3[/inlmath] i dodao trećoj.
[dispmath]x+y+Z+t=3\\
y+2Z=-1\\
y-3Z+aZ=-9+b[/dispmath][dispmath]x+y+Z+t=3\\
y+2Z=-1\\
Z\cdot(a-5)=b-8[/dispmath][dispmath]x+y+Z+t=3\\
y+2Z=-1\\
Z=\frac{b-8}{a-5}[/dispmath] Pogledao sam u rešenjima, ovde su izdvojili tri slučaja, prvi slučaj razumem, i uspeo sam da ga uradim, ali ne razumem kako su došli do ostala dva, shvatam da su povezani sa [inlmath]Z[/inlmath], ali ih ne razumem najbolje.

1. slučaj: [inlmath]a-5\ne0[/inlmath]
2. slučaj: [inlmath]a-5=0[/inlmath] i [inlmath]b-8=0[/inlmath]
3. slučaj: [inlmath]a-5=0[/inlmath] i [inlmath]b-8\ne0[/inlmath]

1. slučaj:

[dispmath]y=-1-2\frac{b-8}{a-5}[/dispmath][dispmath]y=\frac{21-a-2b}{a-5}[/dispmath][dispmath]t=\alpha[/dispmath][dispmath]x=\frac{4a+b-28}{a-5}-\alpha[/dispmath][dispmath]Z=\frac{b-8}{a-5}[/dispmath]

Pozdrav, dobro nam došao.

Molim te, napiši ceo tekst zadatka, baš kao što je predviđeno tačkom 11 Pravilnika. Pretpostavljam kako zadatak glasi, ali da bismo otklonili svaku nedoumicu, napiši tekst, pa da radimo.

Izvinjavam se, toliko sam se bazirao na Latex da sam zaboravio da napišem postavku zadatka . Zadatak glasi:
"U zavisnosti od vrednosti realnih parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] rešiti sistem linearnih jednačina"

Tako sam i pretpostavio, ali bolje je napisati da ne bismo nagađali o čemu se radi, a i zbog drugih korisnika foruma.

Dakle, dobio si da je [inlmath]z=\frac{b-8}{a-5}[/inlmath]. Pošto kažeš da ti je jasan prvi slučaj, preći ću odmah na drugi. Za rešenje se dobija [inlmath]z=\frac{0}{0}[/inlmath]. Drugim rečima, broj [inlmath]z[/inlmath] će biti broj koji pomnožen nulom daje nulu. Za koje vrednosti [inlmath]z[/inlmath] će to biti tačno? Naravno, za bilo koju vrednost. Rešenje možeš da napišeš i kao [inlmath]z\cdot0=0[/inlmath]. Sada, koji god broj da staviš umesto [inlmath]z[/inlmath] ([inlmath]2[/inlmath], [inlmath]-17[/inlmath] ili [inlmath]e^\pi[/inlmath]), jednakost će biti tačna. Zato se kaže da za [inlmath]a=5[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath] sistem ima beskonačno mnogo rešenja.

Možeš li sada sam, na osnovu ove diskusije drugog slučaja da prodiskutuješ treći slučaj? Šta se tada dešava?

P.S. Zaboravih u prethodnom postu da napišem, bravo za LaTex! Retko se dešava da novi članovi "iz prve" napišu LaTex kako treba.

Razumeo sam drugi slučaj. Evo napisaću kako mislim da je rešenje.
"Imenovao sam" [inlmath]Z[/inlmath] kao [inlmath]\alpha[/inlmath] ([inlmath]Z=\alpha[/inlmath]) i [inlmath]t[/inlmath] kao [inlmath]\beta[/inlmath] ([inlmath]t=\beta[/inlmath]). I onda [inlmath]y[/inlmath] može da se napiše kao [inlmath]y=-1-2\alpha[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath] može da se zapiše kao [inlmath]x=\alpha-\beta+4[/inlmath].

Što se tiče trećeg slučaja ([inlmath]a-5=0[/inlmath] i [inlmath]b-8\ne0[/inlmath]), nisam uspeo da uradim jer kao rešenje za [inlmath]Z[/inlmath] dobijem beskonačno:
Npr. uzmem da je [inlmath]b=5[/inlmath] i onda dobijem [inlmath]Z=\frac{-3}{0}[/inlmath] i to je opet svaki realan broj, i onda je isto rešenje kao za prethodni slučaj, a kod mene u zbirci su stavili da je rešenje prazan skup.

Inače, hvala za LaTex, nije toliko komplikovano .

Dobro si sve uradio do pred sam kraj. Uzmimo primer koji si ti naveo [inlmath]z=\frac{-3}{0}[/inlmath]. Ovo možemo da zapišemo i kao [inlmath]z\cdot0=-3[/inlmath]. Dakle, tražimo broj koji pomnožen nulom daje proizvod [inlmath]-3[/inlmath]. Naravno, takav uslov ne zadovoljava ni jedan realan broj i zato kažemo da je sistem nesaglasan (može da se kaže i da sistem nema rešenja, da je protivrečan ili, kao u tvojoj zbirci, da je rešenje prazan skup). Nadam se da je sada sve jasno. Napomenuo bih dve najčešće greške kod ovakvih zadataka (ti ih nisi napravio, ali zbog budućih čitalaca ove teme):

Prva stvar je da se prodiskutuje slučaj da je [inlmath]a=5[/inlmath], ali da se ne prodiskutuje posebno kada je i [inlmath]a=5[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath].

Druga česta greška je da se kao poseban slučaj navodi [inlmath]a\ne5[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath]. Tada bi rešenje po [inlmath]z[/inlmath] bilo realno, jednoznačno određeno i jednako nuli, ali ne bi ni po čemu bilo posebno u odnosu na bilo koje realno rešenje za [inlmath]z[/inlmath].

Sada sam napokon shvatio, hvala punoo

Procitaj malo Kroneker-Kapelijevu teoremu vezanu za saglasnost sistema linearnih j-na, puno ce ti pomoci.