MATEMANIJA

Ćao, svima!

Pošto je sledeći problem zadat na engleskom, ne usuđujem se da ga prevedem, te ga postavljam u izvornom obliku.

Determine all the distinct isomorphism classes of abelian groups of order 4200. Write down one representative of each isomorphism class.

Ovako sam započeo:
[dispmath]4200 = 42\cdot 100 = 7\cdot 5^{2}\cdot 3\cdot 2^3.[/dispmath]

Zatim sam zaključio da tu ima 6 "isomorphism classes" (Nadam se da ne grešim u ovoj pretpostavci!). Međutim, ne znam kako da uradim drugi deo zadataka u kom se traži da napišem po jednog predstavnika iz svake klase.
Inače, dobio sam da je kompletna lista svih "isomorphism classes":

Z₇ × Z₂₅ × Z₃ × Z₈
Z₇ × Z₅ × Z₅ × Z₃ × Z₈
Z₇ × Z₅ × Z₅ × Z₃ × Z₄ × Z₂
Z₇ × Z₂₅ × Z₃ × Z₄ × Z₂
Z₇ × Z₂₅ × Z₃ × Z₂ × Z₂ × Z₂
Z₇ × Z₅ × Z₅ × Z₃ × Z₂ × Z₂ × Z₂

Pošto mislim da sledeći zadatak ima određene povezanosti sa prethodnim, postaviću ga ovde.
Za razliku od prethodnog zadatka, zaista nisam siguran kako da započnem i pristupim ovom zadatku. Pokušavao sam da pronađem neke veze između broja prostih brojeva čiji je proizvod n i broja "isomorphism classes", ali je to verovatno pogrešno.

What is the smallest positive integer n such that there are exactly 10 isomorphism classes of abelian groups of order n? Explain why your answer is correct.

Što se tiče prvog zadatka, dobro si ga uradio i uradio si oba dela čim si izlistao grupe.

Ključna informacija za ove zadatke je sledeća: Grupe [inlmath]\mathbb Z_{pq}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb Z_p\times\mathbb Z _q[/inlmath] su izomorfne ako i samo ako je su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] uzajamno prosti. To možeš probati da dokažeš.
Ovo nam omogućuje da imamo klasu izomorfnih grupa poput
[inlmath]\mathbb Z _8 \times \mathbb Z _3 \times \mathbb Z _{25} \times \mathbb Z _7[/inlmath],
[inlmath]\mathbb Z _{8\cdot 3} \times \mathbb Z _{25} \times \mathbb Z _7[/inlmath],
[inlmath]\mathbb Z _{8\cdot 3 \cdot 25} \times \mathbb Z _7[/inlmath],
[inlmath]\mathbb Z _{8\cdot 3 \cdot 7} \times \mathbb Z _{25}[/inlmath], i još mnoge druge....
Formalno to su sve različite grupe, ali su one međusobno izomorfne.

Uglavnom se cela ta klasa izomorfnih grupa predstavlja takozvanim normalnom formom tj. grupom oblika [dispmath]\mathbb Z_{d_1} \times \mathbb Z_{d_2} \times \cdots\times \mathbb Z_{d_k}[/dispmath] gde [inlmath]d_i \mid d_{i+1}[/inlmath] za [inlmath]1 \le i \le k-1[/inlmath].
Dakle, normalna forma grupe [inlmath]\mathbb Z _8 \times \mathbb Z _3 \times \mathbb Z _{25} \times \mathbb Z _7[/inlmath] je [inlmath]\mathbb Z _{4200}[/inlmath] dok je normalna forma grupe [inlmath]\mathbb Z _8 \times \mathbb Z _3 \times \mathbb Z _5 \times \mathbb Z_5 \times \mathbb Z _7[/inlmath] baš [inlmath]\mathbb Z_5 \times \mathbb Z_{840}[/inlmath].

Što se tiče drugog zadatka, najlakše je da kreneš redom da klasifikuješ Abelove grupe reda [inlmath]n=2,3,4,5,6,\dots[/inlmath]

Hvala ti na odgovoru!! Mučim se sa ovim stvarima jer se moj profesor ne snalazi najbolje tokom online predavanja, pa sam zbog toga prepušten samom sebi i knjizi

A što se tiče drugog zadatka, da li to znači da bi trebalo da radim nešto ovako:

Ako je n = 2, 3, onda bi trebalo da je grupa ciklična (na engleskom: cyclic group) jer je n prost broj.
Zatim,
[dispmath]n = 4 = 2^2 \Rightarrow \mathbb{Z_4}, \mathbb{Z_2} × \mathbb{Z_2};[/dispmath]
[dispmath]n = 5 \Rightarrow \mathbb{Z_5};[/dispmath]
[dispmath]n = 6 = 2 \cdot 3 \Rightarrow \mathbb{Z_6}, \mathbb{Z_2} × \mathbb{Z_3};[/dispmath]
[dispmath]n = 7 \Rightarrow\mathbb{Z_7};[/dispmath]
[dispmath]n = 8 = 2^3 \Rightarrow \mathbb{Z_8}, \mathbb{Z_4} × \mathbb{Z_2}, \mathbb{Z_2} × \mathbb{Z_2} × \mathbb{Z_2};[/dispmath]
[dispmath]n=9 = 3^2 \Rightarrow \mathbb{Z_9}, \mathbb{Z_3} × \mathbb{Z_3};[/dispmath]
[dispmath]n = 10 = 5 \cdot 2 \Rightarrow \mathbb{Z_{10}}, \mathbb{Z_5} × \mathbb{Z_2}.[/dispmath]

Čak i da se radi na ovakav način, nisam siguran kada prestati, tj. koliko puta bi trebalo ovaj proces ponavljati da bih našao taj najmanje ceo broj n....

StefanosDrag je napisao:Ako je n = 2, 3, onda bi trebalo da je grupa ciklična (na engleskom: cyclic group) jer je n prost broj.

Ovo je tačno.

StefanosDrag je napisao:[dispmath]n = 6 = 2 \cdot 3 \Rightarrow \mathbb{Z_6}, \mathbb{Z_2} × \mathbb{Z_3};[/dispmath]

Ovde imaš grešku (pogledaj tvrđenje koje sam gore napisao).

StefanosDrag je napisao:Čak i da se radi na ovakav način, nisam siguran kada prestati, tj. koliko puta bi trebalo ovaj proces ponavljati da bih našao taj najmanje ceo broj n....

Sugerisao sam ti ovaj način da bi uočio kombinatoriku koja se pojavljuje ovde.

Dakle, broj Abelovih grupa reda [inlmath]n[/inlmath] zavisi samo od broja "rastavljanja" [inlmath]n[/inlmath] (ovo je mnogo teže sad napisati nego razumeti). Ako je [inlmath]n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}[/inlmath] gde su svi [inlmath]p_i[/inlmath] različiti prosti brojevi a [inlmath]e_i >0[/inlmath] prirodni brojevi, tada nas interesuje broj [dispmath]P(e_1) P(e_2) \cdots P(e_l)[/dispmath] gde je [inlmath]P(m)[/inlmath] broj particija skupa sa [inlmath]m[/inlmath] elemenata (Na primer, [inlmath]P(4)= 5[/inlmath] jer imamo particionisanja [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3+1[/inlmath], [inlmath]2+2[/inlmath], [inlmath]2+1+1[/inlmath], [inlmath]1+1+1+1[/inlmath]).

Na primer, recimo da tražimo broj klasa izomorfnih Abelovih grupa reda [inlmath]7 \cdot 5^2 \cdot 3 \cdot 2^3[/inlmath]. Kako je [inlmath]P(1)=1[/inlmath], [inlmath]P(2)=2[/inlmath] i [inlmath]P(3)=3[/inlmath], imamo da je trženi broj klasa [dispmath]P(1)P(2)P(1)P(3)=6[/dispmath] što si i ti dobio.

E sada, mi želimo da [inlmath]10 =P(e_1) P(e_2) \cdots P(e_l)[/inlmath] što nas dovodi do dva slučaja :
[inlmath]10= 10 = P(e_1)[/inlmath] i
[inlmath]10= 2 \cdot 5 = P(e_1) P(e_2)[/inlmath]

Ti nastavi sa analizom ova dva slučaja.....

Molim te, ubuduće koristi LaTeX za sve matematičke izraze (koristi InlineMath tagove za "male" izraze).

Hvala ti na savetima! Takođe, izvinjavam se na neurednim postovima!

Ovako sam razmišljao:
Dakle, prirodni brojevi [inlmath]e_1[/inlmath] i [inlmath]e_2[/inlmath] su eksponenti nekih prostih brojeva koji faktorišu ceo broj n.

Zatim sam posmatrao oba slučaja
[inlmath]10 = 10 = P(e_1)[/inlmath] i
[inlmath]10 = 2 \cdot 5 = P(e_1)P(e_2)[/inlmath]

Prvi slučaj sam pokušao da rešim "pešice", odnosno, pokušao sam da pronađem broj [inlmath]e_1[/inlmath] za koji je [inlmath]P(e_1) = 10[/inlmath]. Međutim, nisam uspeo da pronađem taj broj, jer je, na primer, [inlmath]P(7) = 9[/inlmath] i [inlmath]P(8) = 11[/inlmath].
Iz postavke drugog slučaja, mislio sam da je jedino logično imati da je [inlmath]P(e_1) = 2[/inlmath] i [inlmath]P(e_2) = 5[/inlmath]. Zato što si već utvrdio da je [inlmath]P(4) = 5[/inlmath] i [inlmath]P(2) = 2[/inlmath], pomislio sam da je [inlmath]e_1 = 4[/inlmath] i [inlmath]e_2 = 2[/inlmath].

Pošto su [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] eksponenti nekih prostih brojeva i pošto se u zadatku traži najmanji pozitivni broj n, odredio sam da je [inlmath]n = 144 = 2^4 \cdot 3^2[/inlmath].

StefanosDrag je napisao:Prvi slučaj sam pokušao da rešim "pešice", odnosno, pokušao sam da pronađem broj [inlmath]e_1[/inlmath] za koji je [inlmath]P(e_1) = 10[/inlmath]. Međutim, nisam uspeo da pronađem taj broj, jer je, na primer, [inlmath]P(7) = 9[/inlmath] i [inlmath]P(8) = 11[/inlmath].

Tačno je da ne postoji broj [inlmath]s[/inlmath] za koji je [inlmath]P(s)=10[/inlmath], međutim nisi naveo dobre vrednosti: [inlmath]P(7)=15[/inlmath] i [inlmath]P(8)=22[/inlmath].

Ovo ostalo je dobro :)
Izvinjavam što sam ti nagovestio da kreneš peške, pogrešno sam procenio zadatak :D

Inače, broj Abelovih grupa reda [inlmath]n[/inlmath] je dat kao niz A000688 u OEIS-u.