MATEMANIJA

Zdravo,
Zadatak glasi: Ispod svake matrice napisati broj koji predstavlja njen rang. Hteo sam da pitam da li je kod ovog zadatka greška u rešenju. Matrica glasi:
[dispmath]\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 4\\
2 & 3 & 1 & 2\\
1 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
U rešenju piše da je njen rang [inlmath]3[/inlmath], ali kako to može biti tačno? Jer, ako uzmem proizvoljnu [inlmath]3\times3[/inlmath] matricu, npr: [inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath] dobijam da je matrica jednaka [inlmath]0[/inlmath] (a mora da bude različita od nule da bi uopšte mogla da ima rang kao veličina matrice koja je po defaultu postavljena). Onda sam uzeo drugu mogućnost, tj. [inlmath]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/inlmath] opet dobijam da je matrica [inlmath]0[/inlmath], što bi valjda značilo da njen rang nikako ne može biti [inlmath]3[/inlmath]?

Nije greška u rešenju, rang jeste [inlmath]3[/inlmath].
Da bi rang bio manji od [inlmath]3[/inlmath], nije dovoljno da postoji samo jedna podmatrica [inlmath]3\times3[/inlmath] čija je determinanta jednaka nuli, već moraju sve podmatrice [inlmath]3\times3[/inlmath] imati determinante koje su nule.
Uzmi na primer podmatricu [inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/inlmath]. Ta podmatrica jeste [inlmath]3\times3[/inlmath], ali njena determinanta nije nula. A čim postoji makar jedna podmatrica [inlmath]3\times3[/inlmath] čija determinanta nije nula, znači da je rang ove matrice jednak [inlmath]3[/inlmath].

Do istog si rezultata mogao doći i svođenjem zadate matrice na stepenastu formu, pri čemu bi video da broj nenultih vrsta iznosi [inlmath]3[/inlmath], pa je samim tim to i rang matrice.

Acim je napisao:[inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath] dobijam da je matrica jednaka [inlmath]0[/inlmath]

Moraš razlikovati pojmove matrica i determinanta. Ova matrica očigledno nije jednaka [inlmath]0[/inlmath] (već je jednaka [inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath], kao što si i napisao). Nuli je jednaka njena determinanta.

Sada shvatam. Samo, ako tako zamenimo mesta vrednosti matrice, zar se tako ne menja njena cela vrednost, ili to svakako nije bitno u ovom slučaju, pošto je ne računamo celu?

Nisam razumeo pitanje, šta znači „zamena mesta vrednosti matrice“?

Pogrešno sam se izrazio bio. Uglavnom sam skapirao zadatak. Zanima me još da li bih smeo da uradim sledeće (pretpostavljam da je greška ali opet da budem siguran) - da zamenim npr kolone [inlmath]1\;0\;0\;1[/inlmath] i [inlmath]2\;0\;0\;4[/inlmath] i da uokviru nje nalazim odgovarajuće podmatrice?

Verovatno si hteo reći vrste – [inlmath]1\;0\;0\;1[/inlmath] i [inlmath]2\;0\;0\;4[/inlmath] su vrste, a ne kolone.
Naravno da smeš, jer se ekvivalentnim transformacijama matrice (u koje spadaju i zamene dve vrste ili zamene dve kolone) ne menja njen rang. Ali, ne vidim zašto bi to radio, ništa time posebno ne dobijaš.