MATEMANIJA

Zdravo,
Imam problem sa sledećim zadatkom:
Zaokružiti cifre ispred uređenih [inlmath]n[/inlmath]-torki koje su linearno nezavisne u vektorskom prostoru trojki [inlmath]\left(\mathbb{R}^3,+,\cdot\right)[/inlmath] (postaviću par primera od celog zadatka)
[inlmath]1)\:\left(\left(0,1,0\right)\right)[/inlmath],
[inlmath]2)\:\left(\left(1,2,0\right),\left(1,1,0\right),\left(2,-1,1\right)\right)[/inlmath],
[inlmath]3)\:\left(\left(1,1,1\right),\left(2,2,2\right)\right)[/inlmath].
Od navedena 3, tačni bi bilo pod 1 i 2 a treći ne bi.

E sad, na predavanju su nam rekli da (kako se rade o uređenoj trojki vektora) da postavimo to u matricu, dimenzija [inlmath]3\times3[/inlmath] i da ako je rang matrice veći ili jednak toj trojci da je onda linearno nezavisna. Pođimo od prvog - Ako to uvrstim u matricu izgleda ovako:
[dispmath]\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] čiji je rang očigledno [inlmath]1[/inlmath] i kako je to onda tačno?

Ili pođimo od drugog primera. Njena matrica bi bila:
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0\\
1 & 1 & 0\\
2 & -1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath] čiji je rang zaista [inlmath]3[/inlmath] zbog čega mi je i jasno zbog čega je tačan odgovor.

Sad, nisam siguran da li je do njih greška u rešenju, ili se meni samo posrećilo jer sam možda do rešenja na pogrešan način došao.

Odgovor pod 3 takođe nije tačan, jer je kod njega rang [inlmath]1[/inlmath] (ako ne grešim).

Acim je napisao:E sad, na predavanju su nam rekli da (kako se rade o uređenoj trojki vektora) da postavimo to u matricu, dimenzija [inlmath]3\times3[/inlmath] i da ako je rang matrice veći ili jednak toj trojci da je onda linearno nezavisna. Pođimo od prvog - Ako to uvrstim u matricu izgleda ovako:
[dispmath]\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]

Nisu vam sigurno mogli reći da postavite matricu [inlmath]3\times3[/inlmath] ako vam je data samo jedna uređena trojka. Kako bi onda došao do matrice [inlmath]3\times3[/inlmath]? Dodavanjem nula-vrsta? To je podjednako pogrešno kao i kad bi dodao bilo koje vrste s proizvoljnim brojevima.
Dakle, pod [inlmath]1)[/inlmath] imaš matricu [inlmath]1\times3[/inlmath], koja glasi [inlmath]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath]. A ako je rang matrice jednak [inlmath]\min(m,n)[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] broj vrsta a [inlmath]n[/inlmath] broj kolona, što ovde jeste slučaj, onda je taj sistem linearno nezavisan.

Acim je napisao:Odgovor pod 3 takođe nije tačan, jer je kod njega rang [inlmath]1[/inlmath] (ako ne grešim).

Odmah se vidi da rang jeste [inlmath]1[/inlmath], a i da sistem nije linearno nezavisan, jer je drugu uređenu trojku moguće dobiti množenjem prve sa [inlmath]2[/inlmath].