MATEMANIJA

Zadatak glasi: [inlmath]X\ne\emptyset[/inlmath], [inlmath]\left(X^x,\circ\right)[/inlmath], [inlmath]X^x[/inlmath] predstavlja skup svih funkcija iz [inlmath]X[/inlmath] ([inlmath]f\colon X\to X[/inlmath]), operacija [inlmath]\circ[/inlmath] predstavlja kompoziciju funkcija.
Ispitati prirodu algebarske strukture [inlmath]\left(X^x,\circ\right)[/inlmath].

Jasni su mi svi koraci u sustini, osim poslednjeg... Poenta je da me buni zakljucak da nemamo inverz, lako se da zakljuciti da u opstem slucaju vazi da su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] bijektivne (gde je [inlmath]g[/inlmath] inverz funkcije [inlmath]f[/inlmath]), pa samim tim i vazi da imamo inverz (bitno je to sto su bijektivne, jer onda zakljucujemo da postoji inverz). Mada je profesor na kraju (iako je u opstem slucaju zakljucio da su bijektivne) rekao da inverz ne postoji.

Moguce da sam i ja rekao nesto pogresno (deo da je bijektivnost neophodna i slicno)...

Ne postoji inverz u opštem slučaju.

Npr neka je [inlmath]X=\{1,2\}[/inlmath] i neka je [inlmath]f:X\to X[/inlmath] takva da [dispmath]f(1)=1 \qquad f(2)=1[/dispmath]
Da posmatramo samo invertibilne funkcije struktura bi bila grupa (tzv. grupa permutacija)

Znaci ono sto hoces da kazes, da si samo namestio primer koji jasno ukazuje da bijektivnost ne postoji, i time zakljucio da ne postoji ni inverz? Nisam samo siguran da li taj tvoj primer utice na neke druge faktore/osobine algebarske strukture pored bijektivnosti?

Taj „namešten primer“ zove se kontraprimer i on je sasvim validan dokaz da neko tvrđenje ne važi.

Mene bi samo zanimalo, na osnovu čega je vaš profesor zaključio da je [inlmath]f[/inlmath] bijektivna...

Pa i nije zakljucio da je bijektivna, napisao sam to ne shvatajuci da je zakljucak bio da u opstem slucaju nije bijektivno (kontra onome sto sam napisao u prvoj objavi... Da ne ispada da profesor ne zna, do mene je )... Samo je meni nejasno bilo zasto nije