Dokazati da su uredjeni parovi izomorfne Abelove grupe
Poslato: Ponedeljak, 07. Mart 2022, 19:41Pozdrav, imam problem sa razumevanjem drugog zadatka i zakljucka koji je donet na kraju. Prvi razumem rekao bih skroz, dok je drugi konfuzan u nekoliko delova...Prvi je vazan deo objave, nije visak, cisto da bih mogao da uporedim pojedinosti koje prvi zadatak obuhvata, a koje (bar ja mislim) drugi izostavlja iz nekog razloga.
Def. Preslikavanje [inlmath]f\colon G\to H[/inlmath] ([inlmath](G,\circ)[/inlmath] je grupa, [inlmath](H,*)[/inlmath] je grupa) se naziva homomorfizam grupa [inlmath](G,\circ)[/inlmath] u [inlmath](H,*)[/inlmath] ako važi [inlmath](\forall a,b\in G)f(a\circ b)=f(a)*f(b)[/inlmath].
Def. Bijektivni homomorfizam se naziva izomorfizam ([inlmath]f[/inlmath] je bijekcija).
[inlmath]\enclose{circle}1[/inlmath] [inlmath]f\colon(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^+,\cdot)[/inlmath] dato je [inlmath]f(x):=e^x[/inlmath]
a) Da li je homomorfizam? b) Da li je izomorfizam?
[inlmath]f(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=f(x)\cdot f(y)[/inlmath]
[inlmath]e^x[/inlmath] jeste bijekcija [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] izomorfizam
[inlmath]\enclose{circle}2[/inlmath] [inlmath]G=\{1,i,-1,-i\}[/inlmath], [inlmath]H=\{0,1,2,3\}[/inlmath]. Označimo sa [inlmath]\cdot[/inlmath] množenje u [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], [inlmath]+_4[/inlmath] je sabiranje po modulu [inlmath]4[/inlmath]. Dokazati da su [inlmath](G,\cdot)[/inlmath] i [inlmath](H,+_4)[/inlmath] izomorfne Abelove grupe.
Kejlijeva tablica
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
& 1 & i & -1 & -i\\ \hline
1 & 1 & i & -1 & -i\\ \hline
i & i & -1 & -i & 1\\ \hline
-1 & -1 & -i & 1 & i\\ \hline
-i & -i & 1 & i & -1\\ \hline
\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c|c|c|}
+_4 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \hline
2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ \hline
3 & 3 & 0 & 1 & 2\\ \hline
\end{array}[/dispmath] [inlmath](G,\cdot)\;(H,+_4)[/inlmath]
[inlmath](\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot)\\
(G,\cdot)\\
a\in G\quad i^m\quad m\in\{0,1,2,3\}\quad i,i^2,i^3,i^4,i^5,\ldots\\
b\in G\quad i^k\quad k\in\{0,1,2,3\}\quad i,-1,-i,1,i,-1,-i,1\\
a\cdot b^{-1}=i^m\cdot i^{4-k}=i^{m+4-k}\in G[/inlmath]
[inlmath]0\mapsto1\\
1\mapsto i\\
2\mapsto-1\\
3\mapsto-i[/inlmath]
[inlmath]f(x)=i^x\\
f\colon H\to G\\
f(x+_4y)=i^{x+_4y}=i^{(x+y)\bmod4}\\
f(x)\cdot f(y)=i^x\cdot i^y=i^{x+y}=i^{(x+y)\bmod4}[/inlmath]
Mene sada zanima kako je moguce da je [inlmath]f(x)\cdot f(y)=i^x\cdot i^y=i^{x+y}=i^{(x+y)\bmod4}[/inlmath] tj. [inlmath]i^{x+_4y} = i^{(x+y)mod4} \Leftrightarrow i^{x+y} = i^{(x+y)mod4}[/inlmath]...Bas mi nema nikakvog smisla iskreno, plus (mozda ste primetli), u tekstu drugog zadatka se uopste ne napominje/definise funkcija [inlmath]f[/inlmath] kao u prvom na primer...Da li se od mene ocekuje da nesto u tekstu zadatka implicira kako funkcija [inlmath]f[/inlmath] izgleda ili je prosto zaboravljeno da se to napomene?
Def. Preslikavanje [inlmath]f\colon G\to H[/inlmath] ([inlmath](G,\circ)[/inlmath] je grupa, [inlmath](H,*)[/inlmath] je grupa) se naziva homomorfizam grupa [inlmath](G,\circ)[/inlmath] u [inlmath](H,*)[/inlmath] ako važi [inlmath](\forall a,b\in G)f(a\circ b)=f(a)*f(b)[/inlmath].
Def. Bijektivni homomorfizam se naziva izomorfizam ([inlmath]f[/inlmath] je bijekcija).
[inlmath]\enclose{circle}1[/inlmath] [inlmath]f\colon(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^+,\cdot)[/inlmath] dato je [inlmath]f(x):=e^x[/inlmath]
a) Da li je homomorfizam? b) Da li je izomorfizam?
[inlmath]f(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=f(x)\cdot f(y)[/inlmath]
[inlmath]e^x[/inlmath] jeste bijekcija [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] izomorfizam
[inlmath]\enclose{circle}2[/inlmath] [inlmath]G=\{1,i,-1,-i\}[/inlmath], [inlmath]H=\{0,1,2,3\}[/inlmath]. Označimo sa [inlmath]\cdot[/inlmath] množenje u [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], [inlmath]+_4[/inlmath] je sabiranje po modulu [inlmath]4[/inlmath]. Dokazati da su [inlmath](G,\cdot)[/inlmath] i [inlmath](H,+_4)[/inlmath] izomorfne Abelove grupe.
Kejlijeva tablica
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
& 1 & i & -1 & -i\\ \hline
1 & 1 & i & -1 & -i\\ \hline
i & i & -1 & -i & 1\\ \hline
-1 & -1 & -i & 1 & i\\ \hline
-i & -i & 1 & i & -1\\ \hline
\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c|c|c|}
+_4 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \hline
2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ \hline
3 & 3 & 0 & 1 & 2\\ \hline
\end{array}[/dispmath] [inlmath](G,\cdot)\;(H,+_4)[/inlmath]
[inlmath](\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot)\\
(G,\cdot)\\
a\in G\quad i^m\quad m\in\{0,1,2,3\}\quad i,i^2,i^3,i^4,i^5,\ldots\\
b\in G\quad i^k\quad k\in\{0,1,2,3\}\quad i,-1,-i,1,i,-1,-i,1\\
a\cdot b^{-1}=i^m\cdot i^{4-k}=i^{m+4-k}\in G[/inlmath]
[inlmath]0\mapsto1\\
1\mapsto i\\
2\mapsto-1\\
3\mapsto-i[/inlmath]
[inlmath]f(x)=i^x\\
f\colon H\to G\\
f(x+_4y)=i^{x+_4y}=i^{(x+y)\bmod4}\\
f(x)\cdot f(y)=i^x\cdot i^y=i^{x+y}=i^{(x+y)\bmod4}[/inlmath]
Mene sada zanima kako je moguce da je [inlmath]f(x)\cdot f(y)=i^x\cdot i^y=i^{x+y}=i^{(x+y)\bmod4}[/inlmath] tj. [inlmath]i^{x+_4y} = i^{(x+y)mod4} \Leftrightarrow i^{x+y} = i^{(x+y)mod4}[/inlmath]...Bas mi nema nikakvog smisla iskreno, plus (mozda ste primetli), u tekstu drugog zadatka se uopste ne napominje/definise funkcija [inlmath]f[/inlmath] kao u prvom na primer...Da li se od mene ocekuje da nesto u tekstu zadatka implicira kako funkcija [inlmath]f[/inlmath] izgleda ili je prosto zaboravljeno da se to napomene?