Pozdrav, u pojedinim zadacima ne mogu da razumem notaciju i neretko pogrešno pravim matricu (čak i kada je kanonska ([inlmath]e=[1, x, x^2,...,x^n] \in \mathbb{R}^n[/inlmath]) baza u pitanju).

Imam par primera koji su zbunjujući, pa postavljam ovde. Nadam se da neko može da razjasni.

1. Linearni operator [inlmath]L : \mathbb{R}^3[x] \to \mathbb{R}^3[x][/inlmath], data baza je kanonska [inlmath]e=[1, x, x^2][/inlmath] i [inlmath]g(x)= 1+2x+x^2 \in \mathbb{R}[/inlmath].
[dispmath]Lp = p(1)g - p[/dispmath]
Potrebno je odrediti matricu operatora. Imam urađen postupak ali ni njega ne razumem, [inlmath]L1 = 2x + x^2; Lx = 1 + x + x^2; Lx^2 = 1 + 2x[/inlmath] i iz ovoga se lako napravi matrica [inlmath]L1 = \begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}[/inlmath], [inlmath]Lx = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}[/inlmath], [inlmath]Lx^2 = \begin{pmatrix}


1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}[/inlmath] , ali ne razumem postupak dobijanja ovih jednakosti.

2. Evo ga još jedan naizgled komplikovan primer: [inlmath]L : \mathbb{R}^3[X] → \mathbb{R}^3[X][/inlmath], opet u kanonskoj bazi [inlmath]e=[1, X, X^2][/inlmath].

[dispmath]L(g(X))=g(0)(-1-2X+4X^2)+g'(1)(-1+2X^2)+g''(0)(-X+\frac{1}{2}X^2)[/dispmath]

U međuvremenu sam našao rešenje:

1. primer Uvedemo neke [inlmath]a, b, c[/inlmath] koji čine [inlmath]p(x)=a+bx+cx^2[/inlmath]

Sada zamenimo [inlmath]p[/inlmath] i dobijamo [inlmath]Lp= (a+b+c)\cdot(1+2x+x^2) - (a+bx+cx^2)[/inlmath]

Primetite da u prvoj zagradi [inlmath](a+b+c)[/inlmath] stoji bez promenljive [inlmath]x[/inlmath]. To je zato što u postavci zadatka stoji [inlmath]p(1)[/inlmath]. znači da [inlmath]x[/inlmath] menjamo sa [inlmath]1[/inlmath]u ovom slučaju, ali to nije slučaj u trećoj zagradi.

Daljom transformacijom dobijamo [inlmath]Lp= a\cdot(2x+x^2) + b\cdot(1+x+x^2)+c\cdot(1+2x)[/inlmath]
Vrednosti množene sa [inlmath]a, b, c[/inlmath] su ujedno i vrednosti [inlmath]L(e_1), L(e_2), L(e_3)[/inlmath] i odavde date vrednosti napišemo u kolone matrice, dakle:
[dispmath]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
2 & 1 & 2\\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/dispmath]

2. primer Isto se radi kao prethodni primer samo što u ovom slučaju nemamo zadato [inlmath]g(X)[/inlmath] pa možemo da ga označimo kao [inlmath]g(X)=a+bX+cX^2[/inlmath].
Dalje, [inlmath]g'(X)=b+2cX[/inlmath], a [inlmath]g''(X)=2c[/inlmath].

[dispmath]L(g(X))=a\cdot(-1-2X+4X^2)+(b+2c)\cdot(-1+2X^2)+2c\cdot(-X+\frac{1}{2}X^2)[/dispmath] i sređivanjem se dobija [dispmath]L(g(X))=a\cdot(-1-2X+4X^2)+(b)\cdot(-1+2X^2)+c\cdot(-2-2X+5X^2)[/dispmath]

Ove vrednosti se sada, kao i u prethodnom primeru, upisuju kao kolone matrice:

[dispmath]\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -2\\
-2 & 0 & -2\\
4 & 2 & 5 \\
\end{pmatrix}[/dispmath]