MATEMANIJA

Da li možete rešiti ovaj zadatak:

Naći sva netrivijalna rješenja sistema:
[dispmath]\begin{array}{l}
2x+ty-3z=0\\
-x+2y-7z=0\\
3x-3y+z=0
\end{array}[/dispmath]
Isto preko determinanti, diskusije

Odredimo prvo determinantu sistema...
[dispmath]\Delta=\left|\begin{matrix}
2 & t & -3 \\
-1 & 2 & -7 \\
3 & -3 & 1
\end{matrix}\right|[/dispmath]
i, ako je [inlmath]\Delta\ne 0[/inlmath], sistem će imati samo trivijalna rešenja. Ukoliko je [inlmath]\Delta=0[/inlmath], sistem će biti neodređen, pa će jedino biti moguće izraziti promenljive sistema jedne preko drugih.
[dispmath]\Delta=2\left(2-21\right)-t\left(-1+21\right)-3\left(3-6\right)[/dispmath]
[dispmath]\Delta=-38-20t+9[/dispmath]
[dispmath]\Delta=-20t-29[/dispmath]
Sistem ima samo trivijalna rešenja kada je
[dispmath]\Delta\ne 0[/dispmath]
[dispmath]-20t-29\ne 0[/dispmath]
[dispmath]t\ne-\frac{29}{20}[/dispmath]
i tada je [inlmath]\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right)[/inlmath].


Za [inlmath]\Delta=0[/inlmath], tj. [inlmath]t=-\frac{29}{20}[/inlmath], sistem će imati i netrivijalna rešenja i, u tom slučaju, on postaje
[dispmath]\begin{matrix}
2x-\frac{29}{20}y-3z=0 \\
-x+2y-7z=0 \\
3x-3y+z=0
\end{matrix}[/dispmath]
pri čemu će među jednačinama postojati linearna zavisnost, tj. jedna od ove tri jednačine će predstavljati linearnu kombinaciju preostale dve, pa je možemo ukloniti kao suvišnu, tako da ćemo ovaj sistem predstaviti na sledeći način:
[dispmath]\begin{matrix}
-x+2y=7z \\
3x-3y=-z
\end{matrix}[/dispmath]
Determinanta ovog sistema će biti
[dispmath]\Delta=\left|\begin{matrix}
-1 & 2 \\
3 & -3
\end{matrix}\right|=3-6=-3[/dispmath]
[dispmath]\Delta_x=\left|\begin{matrix}
7z & 2 \\
-z & -3
\end{matrix}\right|=-21z+2z=-19z[/dispmath]
[dispmath]\Delta_y=\left|\begin{matrix}
-1 & 7z \\
3 & -z
\end{matrix}\right|=z-21z=-20z[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-19z}{-3}=\frac{19}{3}z[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-20z}{-3}=\frac{20}{3}z[/dispmath]

Hvala puno :* :*

Kad si napisao ovo da ce sistem imati netrivijalna rjesenja, pa napisao sistem kako glasi, mozeš li to uraditi preko svodjenja na reducirani oblik (matrice)?

Zaista nema potrebe da citirate kompletne postupke prethodno urađenih zadataka, pogotovo kad se taj postupak već nalazi u prethodnom postu. Potrudimo se da nam ovaj forum bude pregledniji.

indira-aa je napisao:mozeš li to uraditi preko svodjenja na reducirani oblik (matrice)?

Da li pod time podrazumevaš ovaj postupak (nisam sasvim siguran, zbog razlika u terminologiji)?
[dispmath]\begin{array}{l}
2x-\frac{29}{20}y-3z=0 \\
-x+2y-7z=0 \\
3x-3y+z=0
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -\frac{29}{20} & -3 & 0 \\
-1 & 2 & -7 & 0 \\
3 & -3 & 1 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
Drugu vrstu pomnožimo sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], a zatim zamenimo mesta prvoj i drugoj vrsti:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 7 & 0 \\
2 & -\frac{29}{20} & -3 & 0 \\
3 & -3 & 1 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
Prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath] oduzmemo od druge kolone; zatim, prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath] oduzmemo od treće kolone:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 7 & 0 \\
0 & \frac{51}{20} & -17 & 0 \\
0 & 3 & -20 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
Drugu vrstu pomnožimo sa [inlmath]\frac{20}{51}[/inlmath]:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 7 & 0 \\
0 & 1 & -\frac{20}{3} & 0 \\
0 & 3 & -20 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
Drugu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath] oduzmemo od treće kolone:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 7 & 0 \\
0 & 1 & -\frac{20}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
Zbog toga što smo u trećoj vrsti dobili sve nule, vidimo da će ovaj sistem biti neodređen. Međutim, promenljive je moguće izraziti jedne preko drugih.
Drugu vrstu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath] dodamo prvoj vrsti:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -\frac{19}{3} & 0 \\
0 & 1 & -\frac{20}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
tako da imamo sistem jednačina
[dispmath]x-\frac{19}{3}z=0[/dispmath]
[dispmath]y-\frac{20}{3}=0[/dispmath]
tj.
[dispmath]x=\frac{19}{3}z[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{20}{3}[/dispmath]