MATEMANIJA

Da li moze pomoc oko ovog dokaza:
[dispmath]A^2=I[/dispmath]
[dispmath](A+I)^n=2^{n-1}(I+A)[/dispmath]
[inlmath]A[/inlmath] je kvadratna matrica, a [inlmath]I[/inlmath] je jedinicna matrica.

Snasao sam se sa dokazom kada je [inlmath]A^2=A[/inlmath]

Snasao sam se ipak i sa ovime

Samo malo da prokomentarišem... Ako je za matricu [inlmath]A[/inlmath] rečeno samo to da je kvadratna, onda u opštem slučaju ne mora da važi [inlmath]A^2=I[/inlmath]. Pretpostavljam da formulacija koju treba dokazati glasi, zapravo, ovako:
[dispmath]A^2=I\quad\Rightarrow\quad\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(I+A\right)[/dispmath]
jer to već ima smisla.

To se vrlo lako dokazuje indukcijom, pretpostavljam da si tako i radio.

I, takođe, ne važi u opštem slučaju to što si napisao da je [inlmath]A^2=A[/inlmath] – čak ni pod pretpostavkom da je [inlmath]A^2=I[/inlmath], jer bi tada leva strana bila jedinična matrica, pa bi morala biti i desna, iz čega bi sledilo da [inlmath]A[/inlmath] mora biti jedinična matrica, što nije tačno.

Pa da, [inlmath]A^2=A[/inlmath] i [inlmath]A^2=I[/inlmath] su pocetni uslovi(za dva nezavisna primera), koji stoje uz to da je [inlmath]A[/inlmath] kvadratna matrica, iz kojih dalje treba dokazivati

Da, da, indukcijom sam uradio

Znači, potrebno je dokazati[dispmath]A^2=A\quad\Rightarrow\quad\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(I+A\right)[/dispmath]i[dispmath]A^2=I\quad\Rightarrow\quad\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(I+A\right)[/dispmath]


OK, samo, u ovom prvom iskazu (kada je [inlmath]A^2=A[/inlmath]) meni i dalje nešto ne štima, jer za [inlmath]n=2[/inlmath],[dispmath]\left(A+I\right)^2=2\left(I+A\right)[/dispmath][dispmath]\underbrace{A^2}_A+\underbrace{2AI}_{2A}+\underbrace{I^2}_I=2I+2A[/dispmath][dispmath]A+\cancel{2A}+I=2I+\cancel{2A}[/dispmath][dispmath]A=I[/dispmath]ali ako kažeš da si taj slučaj rešio, onda OK...

[dispmath]A^2=I\quad\Rightarrow\quad\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(I+A\right)[/dispmath]
ovo je ok, a za [dispmath]A^2=A\quad\Rightarrow\quad(I+A)^n=I+(2^n-1)A[/dispmath]
Uh, nadam se da sam sad potrefio sve

Da, sad se sve uklapa.

[dispmath]A^2=I\quad\Rightarrow\quad\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(I+A\right)[/dispmath]

Moze li objasnjenje kako se ovo dokazuje preko binomne formule, posto ne uspevam da dobijem resenje.
Preko matematicke indukcije je ok.

Jos jedan problemcic (+1) imam, deluje mi lagano ali negde koci i ne uspevam da dokazem da vazi:

1.(44.)
[dispmath]A^n=I+n(A-I)\qquad\mbox{za}\qquad A=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
2.(46.) Slicna stvar, samo treba odrediti [inlmath]A^n[/inlmath] za matricu [inlmath]A=\begin{bmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{bmatrix}[/inlmath] ovde mi nije jasan sledeci izraz koji smo radili na vezbama:
[dispmath]A^n=(aI+B)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(aI)^kB^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kB^{n-k}=\underbrace{{n\choose n}a^nB^0+{n\choose n-1}a^{n-1}B}_{\mbox{kako ?}}=a^nI+na^{n-1}B[/dispmath]
Na koji nacin je preko zbira dva clana sume predstavljena cela suma, da li je ovo uopste tacno?

maxaa je napisao:

[dispmath]A^2=I\quad\Rightarrow\quad\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(I+A\right)[/dispmath]

Moze li objasnjenje kako se ovo dokazuje preko binomne formule, posto ne uspevam da dobijem resenje.
Preko matematicke indukcije je ok.

[dispmath]\left(A+I\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}I^k=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}=\\
={n\choose 0}A^n+{n\choose 1}A^{n-1}+{n\choose 2}A^{n-2}+\cdots +{n\choose n-1}A+{n\choose n}I[/dispmath]
Potrebno je da grupišemo sabirke s neparnim stepenima matrice [inlmath]A[/inlmath] i sabirke s parnim stepenima matrice [inlmath]A[/inlmath]. Da bismo to uradili, razmatraćemo dva slučaja: kada je [inlmath]n[/inlmath] neparno i kada je [inlmath]n[/inlmath] parno.

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]n[/inlmath] neparno:
[dispmath]\left(A+I\right)^n={n\choose 0}A^n+{n\choose 2}A^{n-2}+\cdots +{n\choose n-5}A^5+{n\choose n-3}A^3+{n\choose n-1}A+\\
+{n\choose 1}A^{n-1}+{n\choose 3}A^{n-3}+\cdots +{n\choose n-4}A^4+{n\choose n-2}A^2+{n\choose n}I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n={n\choose 0}A^{n-1+1}+{n\choose 2}A^{n-3+1}+\cdots +{n\choose n-5}A^{4+1}+{n\choose n-3}A^{2+1}+{n\choose n-1}A+\\
+{n\choose 1}A^{n-1}+{n\choose 3}A^{n-3}+\cdots +{n\choose n-4}A^4+{n\choose n-2}A^2+{n\choose n}I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n={n\choose 0}A^{n-1}A+{n\choose 2}A^{n-3}A+\cdots +{n\choose n-5}A^4A+{n\choose n-3}A^2A+{n\choose n-1}A+\\
+{n\choose 1}A^{n-1}+{n\choose 3}A^{n-3}+\cdots +{n\choose n-4}A^4+{n\choose n-2}A^2+{n\choose n}I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}A^{n-1}+{n\choose 2}A^{n-3}+\cdots +{n\choose n-5}A^4+{n\choose n-3}A^2+{n\choose n-1}I\right]A+\\
+{n\choose 1}A^{n-1}+{n\choose 3}A^{n-3}+\cdots +{n\choose n-4}A^4+{n\choose n-2}A^2+{n\choose n}I[/dispmath]
Pošto je [inlmath]n[/inlmath] po pretpostavci ovog slučaja neparno, to će [inlmath]n-1,\;n-3,\;\ldots[/inlmath] biti parni brojevi, pa ih možemo prikazati kao proizvod dvojke i celog broja, tj. [inlmath]2\cdot\frac{n-1}{2},\;2\cdot\frac{n-3}{2},\;\ldots[/inlmath]:
[dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}A^{2\cdot\frac{n-1}{2}}+{n\choose 2}A^{2\cdot\frac{n-3}{2}}+\cdots +{n\choose n-5}A^{2\cdot 2}+{n\choose n-3}A^2+{n\choose n-1}I\right]A+\\
+{n\choose 1}A^{2\cdot\frac{n-1}{2}}+{n\choose 3}A^{2\cdot\frac{n-3}{2}}+\cdots +{n\choose n-4}A^{2\cdot 2}+{n\choose n-2}A^2+{n\choose n}I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}\left(A^2\right)^{\frac{n-1}{2}}+{n\choose 2}\left(A^2\right)^{\frac{n-3}{2}}+\cdots +{n\choose n-5}\left(A^2\right)^2+{n\choose n-3}A^2+{n\choose n-1}I\right]A+\\
+{n\choose 1}\left(A^2\right)^{\frac{n-1}{2}}+{n\choose 3}\left(A^2\right)^{\frac{n-3}{2}}+\cdots +{n\choose n-4}\left(A^2\right)^2+{n\choose n-2}A^2+{n\choose n}I[/dispmath]
Pošto imamo uslov [inlmath]A^2=I[/inlmath], svuda gde imamo [inlmath]A^2[/inlmath] pišemo umesto toga [inlmath]I[/inlmath]:
[dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}I^{\frac{n-1}{2}}+{n\choose 2}I^{\frac{n-3}{2}}+\cdots +{n\choose n-5}I^2+{n\choose n-3}I+{n\choose n-1}I\right]A+\\
+{n\choose 1}I^{\frac{n-1}{2}}+{n\choose 3}I^{\frac{n-3}{2}}+\cdots +{n\choose n-4}I^2+{n\choose n-2}I+{n\choose n}I[/dispmath]
Pošto je [inlmath]I[/inlmath] jedinična matrica, važi da je [inlmath]I^a=I[/inlmath] (gde je [inlmath]a[/inlmath] ceo broj), a pošto su, kako je već rečeno, [inlmath]2\cdot\frac{n-1}{2},\;2\cdot\frac{n-3}{2},\;\ldots[/inlmath] celi brojevi, umesto [inlmath]I^{\frac{n-1}{2}},\;I^{\frac{n-3}{2}},\;\ldots[/inlmath] pišemo samo [inlmath]I[/inlmath]:
[dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}I+{n\choose 2}I+\cdots +{n\choose n-5}I+{n\choose n-3}I+{n\choose n-1}I\right]A+\\
+{n\choose 1}I+{n\choose 3}I+\cdots +{n\choose n-4}I+{n\choose n-2}I+{n\choose n}I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}+{n\choose 2}+\cdots +{n\choose n-5}+{n\choose n-3}+{n\choose n-1}\right]I\cdot A+\\
+\left[{n\choose 1}+{n\choose 3}+\cdots +{n\choose n-4}+{n\choose n-2}+{n\choose n}\right]I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n=\left[{n\choose 0}+{n\choose 2}+\cdots +{n\choose n-5}+{n\choose n-3}+{n\choose n-1}\right]A+\\
+\left[{n\choose 1}+{n\choose 3}+\cdots +{n\choose n-4}+{n\choose n-2}+{n\choose n}\right]I[/dispmath]
Pošto je suma binomnih koeficijenata na neparnim mestima jednaka sumi binomnih koeficijenata na parnim mestima i iznosi [inlmath]2^{n-1}[/inlmath] (dokazano ovde), prethodni izraz možemo pisati u sledećem obliku:
[dispmath]\left(A+I\right)^n=2^{n-1}A+2^{n-1}I[/dispmath][dispmath]\left(A+I\right)^n=2^{n-1}\left(A+I\right)[/dispmath]
što je, naravno, zbog komutativnosti sabiranja matrica, isto što i [inlmath]2^{n-1}\left(I+A\right)[/inlmath], a što je trebalo dokazati. To bi se, uostalom, i dobilo da sam prvo grupisao sabirke s parnim stepenima matrice [inlmath]A[/inlmath], a zatim sabirke s neparnim stepenima matrice [inlmath]A[/inlmath] (obrnuto od ovog kako sam radio). Potpuno svejedno.

Tebi ostavljam slučaj za parno [inlmath]n[/inlmath], radi se na isti način, i isti se rezultat dobije.