Cao ljudi!

Nije mi jasno kada u trignometrijskim jednacinama i nejednacinama dodajemo period [inlmath]k\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath]. Npr:
[inlmath]\sin3x=1,\;3x=\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Da li sada period [inlmath]k\pi[/inlmath] dodajem pa onda djelim sa tri ili prvo djelim pa onda dodajem? Da li isto vazi i za nejednacine?

Ćao!
Molim te da koristiš Latex kad pišeš matematičke izraze, u skladu s forumskim pravilima. Uputstvo za Latex imaš na ovom linku.

miljan96 je napisao:Nije mi jasno kada u trignometrijskim jednacinama i nejednacinama dodajemo period [inlmath]k\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath]. Npr:
[inlmath]\sin3x=1,\;3x=\frac{\pi}{2}[/inlmath]

Vrlo je bitno da to ne radiš mehanički, već da imaš u glavi (ili, ako ti je lakše, negde sa strane nacrtaš) trigonometrijsku kružnicu. Sa nje se sve lepo vidi. U principu, kad imaš sinusnu ili kosinusnu funkciju (koje imaju period [inlmath]2k\pi[/inlmath]) – tada na rešenje dodaješ [inlmath]2k\pi[/inlmath]. Kad imaš tangensnu ili kotangensnu funkciju (koje imaju period [inlmath]k\pi[/inlmath]) – tada na rešenje dodaješ [inlmath]k\pi[/inlmath]. Ipak, ima i nekih izuzetaka:

[inlmath]\sin x=0\;\Rightarrow\;x=k\pi[/inlmath] – to je zbog toga što u osnovnom intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] jednačina [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ima rešenja [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath], pa kad na njih dodamo period sinusa, [inlmath]2k\pi[/inlmath], dobićemo skupove rešenja [inlmath]2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\pi+2k\pi[/inlmath], koji, kad se objedine, daju skup rešenja [inlmath]k\pi[/inlmath].

[inlmath]\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] – to je zbog toga što u osnovnom intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] jednačina [inlmath]\cos x=0[/inlmath] ima rešenja [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], pa kad na njih dodamo period kosinusa, [inlmath]2k\pi[/inlmath], dobićemo skupove rešenja [inlmath]\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], koji, kad se objedine, daju skup rešenja [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath].

Ali, kao što rekoh, ništa ovo ne bi trebalo da bude zbunjujuće ako se posmatra trigonometrijska kružnica. Ako je [inlmath]\sin x=1[/inlmath], znači, projekcija ugla [inlmath]x[/inlmath] na sinusnu (vertikalnu) osu je [inlmath]1[/inlmath], što odgovara uglu [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Zatim posmatramo koja je sledeća vrednost ugla [inlmath]x[/inlmath] za koju će njegova projekcija na sinusnu osu opet biti [inlmath]1[/inlmath]. Vidimo s kružnice da će to biti nakon jednog punog kruga, tj. nakon [inlmath]2\pi[/inlmath]. Nakon svakog sledećeg punog kruga (tj. nakon [inlmath]2k\pi[/inlmath]) projekcija na sinusnu osu će takođe biti [inlmath]1[/inlmath].
Slično tome, ako je [inlmath]\cos x=0[/inlmath], znači, projekcija ugla [inlmath]x[/inlmath] na kosinusnu (horizontalnu) osu je [inlmath]0[/inlmath], što odgovara uglu [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] (kao i u prethodnom primeru). Zatim posmatramo koja je sledeća vrednost ugla [inlmath]x[/inlmath] za koju će njegova projekcija na kosinusnu osu opet biti [inlmath]0[/inlmath]. Vidimo s kružnice da će ovaj put to biti ne nakon jednog punog kruga, već nakon jedne polovine kruga, tj. nakon [inlmath]\pi[/inlmath]. Nakon svake sledeće polovine kruga (tj. nakon [inlmath]k\pi[/inlmath]) projekcija na kosinusnu osu će takođe biti [inlmath]0[/inlmath].

miljan96 je napisao:Da li sada period [inlmath]k\pi[/inlmath] dodajem pa onda djelim sa tri ili prvo djelim pa onda dodajem?

Prvo, nije period [inlmath]k\pi[/inlmath] već [inlmath]2k\pi[/inlmath], jer je u pitanju sinusna funkcija.
Prvo dodaješ [inlmath]2k\pi[/inlmath] pa onda sve deliš sa [inlmath]3[/inlmath]. Ceo argument sinusa, znači [inlmath]3x[/inlmath], sve to đuture, posmatraš kao nepoznatu i po njoj rešavaš jednačinu. Dakle,
[dispmath]3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
i onda podelimo obe strane sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}[/dispmath]
Ako te to zbunjuje, možeš raditi i tako što ćeš uvesti smenu [inlmath]3x=t[/inlmath] (mada, realno, mislim da za time nema potrebe):
[dispmath]\sin t=1\;\Rightarrow\;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
Nakon vraćanja smene,
[dispmath]x=\frac{t}{3}\;\Rightarrow\;x=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}[/dispmath]

miljan96 je napisao:Da li isto vazi i za nejednacine?

Da.

Hvala puno na odgovoru!