Iako je reč o primeru iz zbirke, trebalo bi mi pojašnjenje postupka.
[dispmath](\sin x)^4+(\cos x)^4=1-2(\sin x)^2(\cos x)^2=1-\frac{1}{2}(\sin 2x)^2=1-\frac{1}{2}\cdot(\sin 2x)^2[/dispmath]
Onda kaže:

Na osnovu formule [inlmath](\sin x)^2=\frac{1-\cos 2x}{2}[/inlmath], dobijamo:
[dispmath](\sin x)^4+(\cos x)^4=\frac{3+\cos 4x}{4}[/dispmath]
Prvi deo računa (ovaj najduži) mi je savršeno jasan. Ali ne razumem kojom logikom se krenulo sa predstavljanjem [inlmath](\sin x)^2[/inlmath] preko [inlmath]\cos 2x[/inlmath] i kako se to kasnije upotrebilo za dolaženje do konačnog rešenja.

Prvo, par reči u vezi sa samim zapisivanjem formula. Uopšte nije potrebno da koristiš zagrade kod ovakvih izraza: [inlmath](\sin x)^4,\;(\cos x)^4,\;(\sin 2x)^2[/inlmath] itd. Sve se to može jednostavno napisati kao [inlmath]\sin^4 x,\;\cos^4 x,\;\sin^2 2x[/inlmath] itd. U takvim slučajevima je korišćenje zagrada nepotrebno komplikovanje i narušava preglednost formula, pa i tebi onda otežava snalaženje s postupkom.
Znači, podrazumeva se da je
[inlmath]\sin x^2=\sin\left(x^2\right)\\
\sin^2 x=\left(\sin x\right)^2[/inlmath]
Doduše, meni lično bi bilo logičnije da [inlmath]\sin^2 x[/inlmath] znači isto što i [inlmath]\sin\left(\sin x\right)[/inlmath], ali notacija je usvojena tako kako je usvojena, i bolje je što je usvojena tako, jer se [inlmath]\left(\sin x\right)^2[/inlmath] daleko češće sreće nego [inlmath]\sin\left(\sin x\right)[/inlmath]...

---

E, a sad što se tiče zadatka. Znači, buni te formula [inlmath]\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}[/inlmath] i kako je ista primenjena u ovom postupku?
To je formula za sinus polovine ugla i očekuje se da je znate napamet, isto kao i formule za kosinus, tangens i kotangens polovine ugla. Osnovni oblik te formule glasi
[dispmath]\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}[/dispmath]
a često se koristi i oblik
[dispmath]\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}[/dispmath]
u kojem je samo [inlmath]x[/inlmath] zamenjeno sa [inlmath]2x[/inlmath].
U ovom zadatku će, recimo, biti korišćen oblik te formule u kojem je [inlmath]x[/inlmath] zamenjeno sa [inlmath]4x[/inlmath]:
[dispmath]\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}[/dispmath]
Bez obzira na to šta se u toj formuli stavi kao argument sinusa odnosno kosinusa, bitno je da argument sinusa mora biti dvaput manji od argumenta kosinusa.
Do formule za sinus polovine ugla došlo se izvođenjem formule kosinusa dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\\ \cos 2x=1-\sin^2 x-\sin^2 x\\ \cos 2x=1-2\sin^2 x\\ 2\sin^2 x=1-\cos 2x\\ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}[/dispmath]
Kako sam shvatio, tebi je u zadatku jasno do ovog dela:
[dispmath]\cdots =1-\frac{1}{2}\cdot\sin^2 2x[/dispmath]
Sada na taj kvadrat sinusa primenimo formulu za sinus polovine ugla, pri čemu bi ta formula, dakle, glasila ovako:
[dispmath]\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}[/dispmath]
pa će biti:
[dispmath]1-\frac{1}{2}\cdot\sin^2 2x=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos 4x}{2}=1-\frac{1-\cos 4x}{4}=\frac{4-1+\cos 4x}{4}=\frac{3+\cos 4x}{4}[/dispmath]