Kojom logikom bismo rešavali ovakav zadatak (dakle, ne treba mi postupak):
[dispmath]\frac{\mathrm{tg}\:10^\circ\cdot\sin 80^\circ}{\sqrt3\:\mathrm{tg}\:10^\circ -1}[/dispmath]

Ideš prvo logikom da sve svedeš na isti argument. Ovde ti, kao argumenti, figurišu [inlmath]10^\circ[/inlmath] i [inlmath]80^\circ[/inlmath], a pošto su to međusobno komplementni uglovi, vrlo ih je lako svesti na jedan isti ugao...
Onda, pošto u imeniocu imaš [inlmath]\sqrt 3[/inlmath], treba da se setiš koje to trigonometrijske funkcije kojih karakterističnih uglova daju vrednost u kojoj figuriše [inlmath]\sqrt 3[/inlmath], pa da to onda nekako iskoristiš...

Hvala ti, Daniele, evo rešenja zadatka:
[dispmath]\frac{\mathrm{tg}\:10^\circ\cdot\sin 80^\circ}{\sqrt{3}\:\mathrm{tg}\:10^\circ-1}=\frac{\frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}\cdot\sin(90^\circ-10^\circ)}{\mathrm{tg}\:60^\circ\cdot\frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}-1}=\frac{\frac{\sin 10^\circ}{\cancel{\cos 10^\circ}}\cdot\cancel{\cos 10^\circ}}{\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}\cdot\frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}-\frac{\cos 60^\circ\cos 10^\circ}{\cos 60^\circ\cos 10^\circ}}=\frac{\sin 10^\circ}{\frac{\sin 60^\circ\sin 10^\circ-\cos 60^\circ\cos 10^\circ}{\cos 60^\circ\cos 10^\circ}}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\sin 10^\circ\cos 60^\circ\cos 10^\circ}{-(\cos 60^\circ\cos 10^\circ-\sin 60^\circ\sin 10^\circ)}=\frac{\cos 60^\circ\cdot\frac{\sin(10^\circ+10^\circ)+\cancelto{0}{\sin(10^\circ-10^\circ)}}{2}}{-\cos(60^\circ+10^\circ)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\cos 60^\circ\cdot\frac{\sin 20^\circ}{2}}{-\cos 70^\circ}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 20^\circ}{2}}{-\cos(90^\circ-20^\circ)}=\frac{\frac{\sin 20^\circ}{4}}{-\sin 20^\circ}=\frac{\cancel{\sin 20^\circ}}{-4\cancel{\sin 20^\circ}}=-\frac{1}{4}[/dispmath]
Ključni momenat je onaj u drugoj liniji, kada prepoznajemo da se radi o formuli za [inlmath]\cos(\alpha+\beta)[/inlmath]. Dok nisam primetio taj deo, par dana sam se vrteo u krug sa transformacijama.

Jedino, što mislim da ti je u koraku

stevan95 je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{\sin 10^\circ\cos 60^\circ\cos 10^\circ}{-(\cos 60^\circ\cos 10^\circ-\sin 60^\circ\sin 10^\circ)}=\frac{\cos 60^\circ\cdot\frac{\sin(10^\circ+10^\circ)+\cancelto{0}{\sin(10^\circ-10^\circ)}}{2}}{-\cos(60^\circ+10^\circ)}=\frac{\cos 60^\circ\cdot\frac{\sin 20^\circ}{2}}{-\cos 70^\circ}=\cdots[/dispmath]

nepotrebno da se služiš transformacijom proizvoda u zbir, jer možeš odmah da prepoznaš formulu sinusa dvostrukog ugla:
[dispmath]\frac{\sin 10^\circ\cos 60^\circ\cos 10^\circ}{-\left(\cos 60^\circ\cos 10^\circ-\sin 60^\circ\sin 10^\circ\right)}=\frac{\frac{1}{2}\cos 60^\circ\cdot\overbrace{2\sin 10^\circ\cos 10^\circ}^{\sin 20^\circ}}{-\cos\left(60^\circ+10^\circ\right)}=\cdots[/dispmath]