Pozdrav
Prebacio sam ti formule u Latex, sad lepše izgledaju. Ovde imaš uputstvo kako ih možeš pisati, radi budućih postova.

[inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] jeste jedno od rešenja ove jednačine, ali nije jedino. Primenimo formule za sinus i kosinus polovine ugla (to je jedan od načina, pokazaću posle i drugi):
[dispmath]\sin 2x+\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)^2=\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^2\quad /\cdot 4[/dispmath][dispmath]4\sin 2x+\cancel 1-2\cos x+\cancel{\cos^2x}=\cancel 1+2\cos x+\cancel{\cos^2x}[/dispmath][dispmath]\cancel 4\sin 2x=\cancel 4\cos x[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\cos x[/dispmath]
E u ovom koraku si verovatno skratila [inlmath]\cos x[/inlmath] na levoj i na desnoj strani. Ali, ne smeš ga tek tako skraćivati, jer [inlmath]\cos x[/inlmath] može biti nula, i onda takvim skraćivanjem gubiš jedno od mogućih rešenja jednačine. Umesto toga, treba prebaciti kosinus s desne na levu stranu, tako da nam na desnoj strani ostane samo nula:
[dispmath]2\sin x\cos x-\cos x=0[/dispmath][dispmath]\cos x\left(2\sin x-1\right)[/dispmath][dispmath]\cos x=0\quad\lor\quad\sin x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/dispmath]
Najjednostavniji način da utvrdimo koja će od ovih vrednosti biti najmanja pozitivna, a koja najveća negativna, biće da ih ucrtamo na trigonometrijsku kružnicu i da uočimo one dve vrednosti uglova koje najmanje odstupaju od [inlmath]x=0[/inlmath] u pozitivnom i u negativnom smeru.. Na taj način dobijamo da je najmanja pozitivna vrednost [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], a najveća negativna je [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Njihov zbir se poklapa s onim što ti piše u rešenju.

---

Drugi način, umesto primene formula za sinus i kosinus polovine ugla, jeste da četvrte stepene grupišemo na desnoj strani:
[dispmath]\sin 2x=\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^4\left(\frac{x}{2}\right)[/dispmath]
Primenimo formulu za razliku kvadrata:
[dispmath]\sin 2x=\underbrace{\left[\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right]}_{\cos x}\cdot\underbrace{\left[\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right]}_1[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\cos x[/dispmath]
i dalje se svodi na isti postupak koji sam već pokazao...

Imam ja jedan sa zbirom rešenja, al' ako ipak ne odgovara ovoj temi, zamolio bih nadležne da ga premeste.

---

Zadatak 5:
Zbir svih rešenja na intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3x-\sin^3x\right)\left(1+2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)=(2+\sin 2x)^2[/dispmath]

---

Pošto je izraz masivan, sređivao sam deo po deo:
[dispmath]\cos^3x-\sin^3x=\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos^2x+\cos x\sin x+\sin^2x\right)=\\
=\underline{\left(\cos x-\sin x\right)\left(1+\cos x\sin x\right)}\\[1em]
1+2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1+2\left(\cos x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin x\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2=\\
=1+\cancel{2}\cdot\frac{\cancel{2}}{\cancelto{\cancel{2}}{4}}\left(\cos x+\sin x\right)^2=1+\cos^2x+2\cos x\sin x+\sin^2x=\underline{2(1+\cos x\sin x)}\\[1em]
(2+\sin 2x)^2=(2+2\sin x\cos x)^2=\underline{4(1+\cos x\sin x)^2}\\[3em]
\sqrt 2\left(\cos x-\sin x\right)\left(1+\cos x\sin x\right)\cdot 2(1+\cos x\sin x)=4(1+\cos x\sin x)^2\\
\cancelto{1}{2}\sqrt 2(\cos x-\sin x)(1+\cos x\sin x)^2-\cancelto{2}{4}(1+\cos x\sin x)^2=0\\
(1+\cos x\sin x)^2\left(\sqrt 2(\cos x-\sin x)-2\right)=0\\[2em]
1+\cos x\sin x=0\phantom{333}\lor\phantom{333}\sqrt 2(\cos x-\sin x)-2=0\\
\xcancel{\cos x\sin x=-1}\phantom{333}\lor\phantom{333}\cos x-\sin x=\frac{\sqrt 2}{2}/\cdot\frac{1}{\sqrt2}\\
\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1}{2}\\
\frac{\pi}{4}+x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi\phantom{333}\land\phantom{333}\frac{\pi}{4}+x_2=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
x_1=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2k\pi\phantom{333}\land\phantom{333}x_2=-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
x_1=\frac{\pi}{12}+2k\pi\phantom{333}\land\phantom{333}x_2=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
Je l' sam pogrešio negde? Ako nisam, je l' se sad uzima da je [inlmath]k=\{-1,0\}[/inlmath]? Deluje mi da ako idem ispod [inlmath]-1[/inlmath] ili iznad [inlmath]0[/inlmath], da mi rešenja automatski ispadaju iz intervala.
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|}\hline\\
k & -1 & 0\\[1em]\hline
\frac{\pi}{12}+2k\pi & \frac{-23\pi}{12} & \frac{\pi}{12}\\[1em]\hline
\frac{-7\pi}{12}+2k\pi & \frac{-31\pi}{12} & \frac{-7\pi}{12}\\
& \\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Zbir je na kraju [inlmath]-5\pi[/inlmath], što ne odgovara ponuđenim odgovorima, tako da sam verovatno pogrešio.


Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić).

Da, napravio si grešku u koraku
[dispmath]\sqrt 2\left(\cos x-\sin x\right)-2=0\\
\cos x-\sin x={\color{red}\frac{\sqrt 2}{2}}[/dispmath]
Treba [inlmath]\sqrt 2[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath].

---

A inače (iako ti ovo neće biti potrebno za ovaj zadatak posle gornje ispravke, čisto da napomenem), iz
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{12}+2k\pi\quad\land\quad x_2=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
dobila bi se ovakva tabela:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& k=-1 & k=0 & k=1\\ \hline
\frac{\pi}{12}+2k\pi & -\frac{23\pi}{12} & \frac{\pi}{12} \\ \hline
-\frac{7\pi}{12}+2k\pi & & -\frac{7\pi}{12} & \frac{17\pi}{12} \\ \hline
\end{array}[/dispmath]
u kojoj se prazne ćelije odnose na one vrednosti koje ne pripadaju intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].
To jest, za [inlmath]\frac{\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] se uzima [inlmath]k=-1[/inlmath] i [inlmath]k=0[/inlmath], dok se za [inlmath]-\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] uzima [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=1[/inlmath].
Za sve ostale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] izašlo bi se iz opsega [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].

U tabeli koju si ti dobio, lako možeš videti da vrednost [inlmath]-\frac{31\pi}{12}[/inlmath] ne pripada intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].

---

Kao rešenja ovog zadatka treba da se dobiju [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{4}[/inlmath], što kao zbir daje [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], a ne [inlmath]-5\pi[/inlmath].

Hvala na odgovoru, Daniele. Evo da dovršim zadatak:
[dispmath]\cos x-\sin x=\sqrt 2\phantom{33}\left/\cdot\frac{\sqrt 2}{2}\right.\\
\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\\
x+\frac{\pi}{4}=2k\pi\\
x=2k\pi-\frac{\pi}{4}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|}\hline
k & 0 & 1 \\ \hline
2k\pi-\frac{\pi}{4} & -\frac{\pi}{4} & \frac{7\pi}{4}\\ \hline
\end{array}\;\Longrightarrow\;-\frac{\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}=\frac{\cancelto{3}{6}\pi}{\cancelto{2}{4}}=\enclose{box}{\frac{3\pi}{2}}[/dispmath]