Samo mala korekcija. Ovo jeste identitet:
[dispmath]\enclose{box}{\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath]
Svideli su mi se dokazi i Ilije i Daniela.
Ali u sklopu dokazivanja obojica delite kosinusom. Treba reći da onda dokaz važi samo za [inlmath]\cos x\ne0[/inlmath]
Doduše važi jednakost i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath] ali bi to trebalo naglasiti.

Čim u identitetu figuriše tangens, jasno je da tangens mora biti definisan, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] je definisan akko je [inlmath]\cos x\ne0[/inlmath]. Zbog toga je deljenje kosinusom opravdano, ali OK, svakako nije zgoreg to i napomenuti.

Ne bih se složio da ovaj identitet važi i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath], jer u tom slučaju imamo deljenje nedefinisanog izraza nedefinisanim izrazom.

Daniel je napisao:Ne bih se složio da ovaj identitet važi i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath], jer u tom slučaju imamo deljenje nedefinisanog izraza nedefinisanim izrazom.

Sasvim tačno.
Ali eto ja sam i "lopitalio" pa dobih da je ok.

Evo i da dopunim odgovor, možda nije dovoljno jasno:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin2x=0[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}=0[/dispmath]
Mislim da ovim nisam smanjio opštost (tipa plus minus [inlmath]k\pi[/inlmath]).
A hajde i ovo da razjasnimo:
Ja mislim da je identitet ona jednačina koja je zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath].
Ispravite me ako grešim .

Ovime si pokazao da taj identitet važi kada [inlmath]x[/inlmath] teži vrednosti [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], ali ne i kada je [inlmath]x[/inlmath] jednako toj vrednosti.

Da, u pravu si
Sve više mi se sviđa tema .
Ali hajde ovako:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath]
Ako bismo sad zamenili [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath] i potom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]?

Daniel je napisao:Čim u identitetu figuriše tangens, jasno je da tangens mora biti definisan, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] je definisan akko je [inlmath]\cos x≠0[/inlmath].

Ako je identitet, to treba i dokazati.
Ne može se tvrditi da je nešto identitet dok se ne dokaže da važi za svako [inlmath]x[/inlmath].

desideri je napisao:Ali hajde ovako:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath]
Ako bismo sad zamenili [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath] i potom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]?

Dobili bismo deljenje nulom, jer bi bilo [inlmath]\cos x=\cos\frac{\pi}{2}=0[/inlmath].

desideri je napisao:Ne može se tvrditi da je nešto identitet dok se ne dokaže da važi za svako [inlmath]x[/inlmath].

Za ovo nisam siguran, trebalo bi negde proveriti (ako imaš merodavan izvor) šta se tačno podrazumeva pod pojmom matematički identitet, tj. da li neki matematički iskaz predstavlja identitet i ako ne važi za svako [inlmath]x[/inlmath], pri čemu je naglašeno za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] nije zadovoljen/definisan.

Možda teram mak na konac, ali pogledaj ovo:

Daniel je napisao:Čim u identitetu figuriše tangens, jasno je da tangens mora biti definisan, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] je definisan akko je [inlmath]\cos x\ne0[/inlmath].

Potom je bilo:

Daniel je napisao:Dobili bismo deljenje nulom, jer bi bilo [inlmath]\cos x=\cos\frac{\pi}{2}=0[/inlmath].

Ne može se dobiti deljenje nulom ako figuriše tangens. To zaključujem iz ova dva citata.
Ali je najverovatnije da se ne razumemo. Navešću izvore za identitet.

Pa, biće da se nešto ne razumemo. Ovako kako si napisao, ne vidim šta je tu sporno. Ako tangens ostavimo kao tangens – za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] imamo [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{2}[/inlmath], što je nedefinisan izraz. Ako tangens napišemo kao [inlmath]\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath] – za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] imamo deljenje nulom, jer je [inlmath]\cos\frac{\pi}{2}=0[/inlmath].

Obrni-okreni, za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] u svakom slučaju dobijamo nedefinisani izraz.

Ja uopšte više nisam siguran u vezi s matematičkim značenjem reči "identitet".
Mislim da je tu zabuna.

Neki autori (mislim na literaturu, knjige, udžbenike i net) misle jedno, drugi drugo. Nisam konkretno pitao ljude, ne stigoh.
Evo ovako:

• Identitet je jednačina zadovoljena za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Baš svako [inlmath]x[/inlmath]. Tu se još navodi i kao simbol poznat u "našem" Latexu: [inlmath]\equiv[/inlmath] . I čita se "identički jednako".

druga varijanta:

• Identitet je jednačina zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath] za koje su sve funkcije koje figurišu u jednačini definisane.

Ovo drugo bi bilo sasvim u skladu sa svim što reče Daniel, ono prvo u skladu s onim što ja rekoh.
Ali mislim da je tema dovoljno opterećena, uostalom data su tačna izvođenja, tako da predlažem da se otvori nova.
Na temu "Šta je identitet?"