MATEMANIJA

Zbir uglova pod kojim se sa [inlmath]100[/inlmath], [inlmath]200[/inlmath] i [inlmath]300[/inlmath] metara vidi toranj je [inlmath]90[/inlmath] stepeni. Naci njegovu visinu. Ugao izmedju tornja i podloge je [inlmath]90[/inlmath] stepeni.
Ima li neki drugi način da se uradi ovaj zadatak osim [dispmath]\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{100}\right)+\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{200}\right)+\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{300}\right)=\frac{\pi}{2}[/dispmath]
Izgubim se sav kada radim ovako i na kraju naravno ne dobijem dobro resenje

Neka se iz najdalje tačke toranj vidi pod uglom [inlmath]\alpha[/inlmath], a zatim idu [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath].
Tada važi [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=\frac{300}{x}[/inlmath], [inlmath]\mathrm{ctg}\:\beta=\frac{200}{x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\gamma=\frac{100}{x}[/inlmath]
Kako je:
[dispmath]\mathrm{ctg}(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{\mathrm{ctg}(\alpha+\beta)\:\mathrm{ctg}\:\gamma-1}{\mathrm{ctg}(\alpha+\beta)+\mathrm{ctg}\:\gamma}=\mathrm{ctg}\frac{\pi}{2}=0[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}(\alpha+\beta)\mathrm{ctg}\:\gamma-1=0[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\mathrm{ctg}\:\gamma}=\mathrm{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\mathrm{ctg}\:\alpha\:\mathrm{ctg}\:\beta-1}{\mathrm{ctg}\:\alpha+\mathrm{ctg}\:\beta}[/dispmath]
Zamenom vrednosti pojedinih kotangensa:
[dispmath]\frac{x}{100}=\frac{\frac{300}{x}\cdot\frac{200}{x}-1}{\frac{300}{x}+\frac{200}{x}}[/dispmath]
Rešavanjem po [inlmath]x[/inlmath] se dobije [inlmath]x=100[/inlmath].

Evo još jednog načina. Pretpostaviću iste oznake koje je i Milovan koristio.
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{x}{300}\\
\mathrm{tg}\:\beta=\frac{x}{200}\\
\mathrm{tg}\:\gamma=\frac{x}{100}[/dispmath][dispmath]\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad\gamma=\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\gamma=\mathrm{tg}\left[\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right]=\mathrm{ctg}\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{\mathrm{tg}\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{1-\mathrm{tg}\:\alpha\:\mathrm{tg}\:\beta}{\mathrm{tg}\:\alpha+\mathrm{tg}\:\beta}[/dispmath][dispmath]\frac{x}{100}=\frac{1-\frac{x}{300}\cdot\frac{x}{200}}{\frac{x}{300}+\frac{x}{200}}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]x=100[/dispmath]