Resiti jednacinu:
[dispmath]\cos 3x=\cos 5x[/dispmath]
Da li se ova jednacina svodi na:
[inlmath]\sin 2x=0[/inlmath] ili [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath] I kako znati koje resenje je krajnje [inlmath]\frac{k\pi}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{k\pi}{4}[/inlmath]?
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ TRIGONOMETRIJA
Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 8 Posta
• Stranica 1 od 1
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Milovan » Četvrtak, 19. Jun 2014, 19:41
Na osnovu formule za razliku kosinusa lako se dobija:
[dispmath]\cos 5x-\cos 3x=-2\sin\frac{5x-3x}{2}\sin\frac{5x+3x}{2}=2\sin x\sin 4x=0[/dispmath]
Prema tome, ili je [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath] ili je [inlmath]\sin x=0[/inlmath].
Kako je [inlmath]\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x=4\sin x\cos x\cos 2x[/inlmath], lako je zaključiti da je slučaj kada je [inlmath]\sin x=0[/inlmath] obuhvaćen slučajem [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath], a rešenje je [inlmath]x=\frac{k\pi}{4}[/inlmath]
[dispmath]\cos 5x-\cos 3x=-2\sin\frac{5x-3x}{2}\sin\frac{5x+3x}{2}=2\sin x\sin 4x=0[/dispmath]
Prema tome, ili je [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath] ili je [inlmath]\sin x=0[/inlmath].
Kako je [inlmath]\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x=4\sin x\cos x\cos 2x[/inlmath], lako je zaključiti da je slučaj kada je [inlmath]\sin x=0[/inlmath] obuhvaćen slučajem [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath], a rešenje je [inlmath]x=\frac{k\pi}{4}[/inlmath]
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Miladin Jovic » Četvrtak, 19. Jun 2014, 21:41
Mislim da ne bi trebalo da otvaram novu temu zbog ovog zadatka...
Izracunati [inlmath]\cos 2x-2\sin^2x=0[/inlmath]
Dobio sam da je [inlmath]\sin^2x=\frac{1}{4}[/inlmath]
Oni u resenju nisu razmatrali slucaj kada je [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] Zasto to.ne moze da bude resenje?
Izracunati [inlmath]\cos 2x-2\sin^2x=0[/inlmath]
Dobio sam da je [inlmath]\sin^2x=\frac{1}{4}[/inlmath]
Oni u resenju nisu razmatrali slucaj kada je [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] Zasto to.ne moze da bude resenje?
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Milovan » Četvrtak, 19. Jun 2014, 21:44
Treba razmatrati i taj drugi slučaj.
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Daniel » Četvrtak, 19. Jun 2014, 21:46
Naravno da [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] može i treba da bude jedno od rešenja. Jedino, ako možda u zadatku nije navedeno da je [inlmath]x\in\left(0,\pi\right)[/inlmath] ili tako neki sličan uslov.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Miladin Jovic » Četvrtak, 19. Jun 2014, 21:55
Ne, u zadatku nije postavljen nikakav uslov. Dakle, jos jedna njihova greska, a ja sam mislio da sam negde pogresio.
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Miladin Jovic » Četvrtak, 19. Jun 2014, 22:44
Resiti jednavinu:
[dispmath]\left(\sin\frac{x}{3}+2\cos x\right)\cos x+\left(2\sin x-\cos\frac{x}{3}-1\right)\sin x=0[/dispmath]
Daljecsam dobio [inlmath]\sin\frac{2x}{3}+\sin x=2[/inlmath] Da li je ovo dobro? Primenio sam formulu zbir sinusa, ali ne znam da li je ona uopste upotrebljiva ovde.
Inace, resenje je prazan skup, tj. ne postoji. Verovatno treba dobiti izraze koji nisu u funkciji od [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]\left(\sin\frac{x}{3}+2\cos x\right)\cos x+\left(2\sin x-\cos\frac{x}{3}-1\right)\sin x=0[/dispmath]
Daljecsam dobio [inlmath]\sin\frac{2x}{3}+\sin x=2[/inlmath] Da li je ovo dobro? Primenio sam formulu zbir sinusa, ali ne znam da li je ona uopste upotrebljiva ovde.
Inace, resenje je prazan skup, tj. ne postoji. Verovatno treba dobiti izraze koji nisu u funkciji od [inlmath]x[/inlmath].
Re: Trigonometrijske jednačine – nejasnoće oko rešenja
od Daniel » Četvrtak, 19. Jun 2014, 22:57
Da, ispravno si došao do koraka [inlmath]\sin\frac{2x}{3}+\sin x=2[/inlmath]. Sada razmišljaš ovako: pošto ni [inlmath]\sin\frac{2x}{3}[/inlmath] ni [inlmath]\sin x[/inlmath] ne mogu biti veće od [inlmath]1[/inlmath], njihov zbir može biti [inlmath]2[/inlmath] samo onda kada je vrednost obe te funkcije [inlmath]1[/inlmath]. Prema tome, pišeš
[dispmath]\sin\frac{2x}{3}=1\quad\land\quad\sin x=1[/dispmath]
Međutim, rešavanjem ove dve jednačine, dolaziš do toga da je presek njihovih rešenja prazan skup, što znači da polazna jednačina nema rešenja.
[dispmath]\sin\frac{2x}{3}=1\quad\land\quad\sin x=1[/dispmath]
Međutim, rešavanjem ove dve jednačine, dolaziš do toga da je presek njihovih rešenja prazan skup, što znači da polazna jednačina nema rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
8 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju