MATEMANIJA

Resiti jednacinu:
[dispmath]\cos 3x=\cos 5x[/dispmath]
Da li se ova jednacina svodi na:
[inlmath]\sin 2x=0[/inlmath] ili [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath] I kako znati koje resenje je krajnje [inlmath]\frac{k\pi}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{k\pi}{4}[/inlmath]?

Na osnovu formule za razliku kosinusa lako se dobija:
[dispmath]\cos 5x-\cos 3x=-2\sin\frac{5x-3x}{2}\sin\frac{5x+3x}{2}=2\sin x\sin 4x=0[/dispmath]
Prema tome, ili je [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath] ili je [inlmath]\sin x=0[/inlmath].
Kako je [inlmath]\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x=4\sin x\cos x\cos 2x[/inlmath], lako je zaključiti da je slučaj kada je [inlmath]\sin x=0[/inlmath] obuhvaćen slučajem [inlmath]\sin 4x=0[/inlmath], a rešenje je [inlmath]x=\frac{k\pi}{4}[/inlmath]

Mislim da ne bi trebalo da otvaram novu temu zbog ovog zadatka...
Izracunati [inlmath]\cos 2x-2\sin^2x=0[/inlmath]
Dobio sam da je [inlmath]\sin^2x=\frac{1}{4}[/inlmath]
Oni u resenju nisu razmatrali slucaj kada je [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] Zasto to.ne moze da bude resenje?

Treba razmatrati i taj drugi slučaj.

Naravno da [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] može i treba da bude jedno od rešenja. Jedino, ako možda u zadatku nije navedeno da je [inlmath]x\in\left(0,\pi\right)[/inlmath] ili tako neki sličan uslov.

Ne, u zadatku nije postavljen nikakav uslov. Dakle, jos jedna njihova greska, a ja sam mislio da sam negde pogresio.

Resiti jednavinu:
[dispmath]\left(\sin\frac{x}{3}+2\cos x\right)\cos x+\left(2\sin x-\cos\frac{x}{3}-1\right)\sin x=0[/dispmath]
Daljecsam dobio [inlmath]\sin\frac{2x}{3}+\sin x=2[/inlmath] Da li je ovo dobro? Primenio sam formulu zbir sinusa, ali ne znam da li je ona uopste upotrebljiva ovde.
Inace, resenje je prazan skup, tj. ne postoji. Verovatno treba dobiti izraze koji nisu u funkciji od [inlmath]x[/inlmath].

Da, ispravno si došao do koraka [inlmath]\sin\frac{2x}{3}+\sin x=2[/inlmath]. Sada razmišljaš ovako: pošto ni [inlmath]\sin\frac{2x}{3}[/inlmath] ni [inlmath]\sin x[/inlmath] ne mogu biti veće od [inlmath]1[/inlmath], njihov zbir može biti [inlmath]2[/inlmath] samo onda kada je vrednost obe te funkcije [inlmath]1[/inlmath]. Prema tome, pišeš
[dispmath]\sin\frac{2x}{3}=1\quad\land\quad\sin x=1[/dispmath]
Međutim, rešavanjem ove dve jednačine, dolaziš do toga da je presek njihovih rešenja prazan skup, što znači da polazna jednačina nema rešenja.