MATEMANIJA

[dispmath]\sin 3x+\sin 2x+\sin x=0[/dispmath]
ja ovo resavam tako sto [inlmath]\sin 3x[/inlmath]rastavim na [inlmath]\sin (x+2x)[/inlmath] radim po formuli za zbir uglova, i potom jednacinu podelim sa [inlmath]\sin x[/inlmath] i dodjem do ovoga [inlmath]4\cos^2x+2\cos x=0[/inlmath], onda izvucem ispred zagrade [inlmath]2\cos x[/inlmath] i kao resenja dobijem [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pm 2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], dok je u zbirci to prvo resenje [inlmath]\frac{k\pi}{2}[/inlmath], i sad ne kapiram zasto je doslo do razlike jer kad proverim to njihovo tacno je, pa mi nije jasno kako sam ga ja preskocio

Evo gde si to rešenje preskočio.

jovica je napisao:i potom jednacinu podelim sa [inlmath]\sin x[/inlmath]

Deljenjem sa [inlmath]\sin x[/inlmath] prevideo si mogućnost da i [inlmath]\sin x[/inlmath] može biti nula i da, u tom slučaju, deljenje njime nije dozvoljeno, pošto deljenje nulom nije dozvoljeno. Na taj način si izgubio rešenja za [inlmath]\sin x=0[/inlmath], tj. rešenja [inlmath]x=k\pi[/inlmath], koja, kad se objedine sa skupom rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], daju [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].

Inače, vrlo sličnu grešku smo već imali danas, u ovom postu (prvi zadatak), s tim da je kod njega bilo u pitanju deljenje kosinusom.

i da kod zadataka ovog tipa [inlmath]\sin 5x-\sqrt 3\cos 5x=\sqrt 3[/inlmath], kada ga radim na jedan nacin dobijem dobro resenje, poklapa se sa onim u zbirci, a kada ga uradim na drugi ne kod tog zadatka kada ga resavam sa univerzalnom trigonom. smenom da je [inlmath]t=\mathrm{tg}\frac{5x}{2}[/inlmath] ja dobijem resenja [inlmath]x=\frac{\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{2\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath], to drugo resenje mi je isto kao u zbirci ali prvo mi se razlikuje, u zbirci je [inlmath]\frac{2k\pi+\pi}{5}[/inlmath], ono moje prvo se kazu odbacuje jer ne odgovara pocetnoj jednacini, ja ne vidim nijedan uslov, jedino kada ga ubacim vidim da ne odgovara, pretpostavljam da treba ipak da svako resenje ubacim u pocetnu? ali sta sa ovim koje ja nisam nikako ni dobio ? i uopste jel to racunski tacno kako sam ja racunao ili se ipak dobije isto samo ja pravim gresku u racunu ?

o napoookon sam otkrio u cemu je greska ZAHVALJUJEM! a to objedinjavanje, posto ne znam kako se radi jel mogu da napisem odvojeno nekako, tj ono moje resenje pa kao da ne pripadaju ta resanja za koja je [inlmath]\cos x=0[/inlmath] ? nisam uopste skapirao mislio sam da posto mi nije resenje isti taj ugao kao u uslovu da ne utice zaboravio sam da se to objedinjuje...

jovica je napisao:i da kod zadataka ovog tipa [inlmath]\sin 5x-\sqrt 3\cos 5x=\sqrt 3[/inlmath], kada ga radim na jedan nacin dobijem dobro resenje, poklapa se sa onim u zbirci, a kada ga uradim na drugi ne kod tog zadatka kada ga resavam sa univerzalnom trigonom. smenom da je [inlmath]t=\mathrm{tg}\frac{5x}{2}[/inlmath] ja dobijem resenja [inlmath]x=\frac{\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{2\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath], to drugo resenje mi je isto kao u zbirci ali prvo mi se razlikuje, u zbirci je [inlmath]\frac{2k\pi+\pi}{5}[/inlmath]

Ne znam, ja primenom univerzalne trigonometrijske smene uopšte i ne dobijem to tvoje prvo rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath], već samo ono drugo, [inlmath]x=\frac{2\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath], a pošto je, pre primene univerzalne trigonometriske smene, potrebno posebno ispitati slučaj [inlmath]\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], uvrštavanjem te vrednosti u polaznu jednačinu dobije se da je jednačina zadovoljena, tako da je i to jedno od rešenja.

jovica je napisao:a to objedinjavanje, posto ne znam kako se radi jel mogu da napisem odvojeno nekako

Nije greška ni ako ih napišeš odvojeno, ali je svakako lepše i preglednije ako ih objediniš. A objedinjavanje je vrlo jednostavno, skiciraš na trigonometrijskoj kružnici prvi skup rešenja, zatim skiciraš i drugi skup rešenja i onda ćeš sa slike odmah videti kako ih možeš zapisati i objedinjenom formulom...

ja kada resim smenu bude mi [inlmath]t=\sqrt 3[/inlmath] i to onda vratim [inlmath]\sin 5x=\frac{2t}{1+t^2}[/inlmath]i tako dobijem to prvo i drugo, a kako i zasto je potrebno ispitati taj slucaj (ne primecujem ga)? jel mi onda bolje i sigurnije da radim takve zadatke preko [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath] i da pazim na uslove pri deljenju?