MATEMANIJA

Resi nejednacinu:
[dispmath]\sqrt{5-2\sin\frac{x}{6}}>6\sin\frac{x}{6}-1[/dispmath]
Dobio sam ovakvu nejednacinu:
[dispmath]18t^2-5t-2<0[/dispmath] gde je [inlmath]t=\sin\frac{x}{6}[/inlmath].
D li je dobro?

I za ovaj zadatak mi je potrebna konsultacija.
Resi nejednacinu [inlmath]4\cos^2x-3>0[/inlmath]
Dobio sam [inlmath]\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath].
E sad, ako moze pojasnjenje kako dalje, jer nismo u skoli po planu radili ove nejednacine.

Ako se dobro sećam ove oblasti, trebalo bi da ide ovako. Izvini ako sam pogrešio negde.
[dispmath]4\cos^2x-3>0\\
4\cos^2x>3\\
\cos^2x>\frac{3}{4}\\
\cos x>\pm\frac{\sqrt3}{2}\\[2em][/dispmath]
E, sad, pogledaj sliku. Da bi [inlmath]\cos x[/inlmath] bilo veće od [inlmath]\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] treba da bude između [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Takođe, da bi bio veći od [inlmath]-\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], treba da bude veći od [inlmath]\pi-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\pi+\frac{\pi}{6}[/inlmath]. E, sad, možeš primetiti da [inlmath]\pi\pm\frac{\pi}{6}[/inlmath] možemo zapisati i kao [inlmath]\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath]. Što bi značilo da je rešenje ove nejednačine: [inlmath]x>\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath]


EDIT: Kada sam rekao "treba da bude između", hteo sam da kažem sa desne strane (pošto bi se "između" moglo protumačiti i sa leve strane ).

Da,u resenju je [inlmath]x\in\left(-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi\right)[/inlmath]

A jesi li ukapirao u čemu je fazon?

Meni je profesorka bila dala neke formule preko kojih se rade ti uslovi, al' to mi ništa nije bilo jasno, pa sam se oslonio na logiku. Imaš neke fajlove na domaćem jeziku na netu koji ti mogu biti od pomoći. Inače, ima i zadataka koje sam postavljao ovde na Matemaniji, tako da generalno nije problem ukapirati ove zadatke.

Što se prvog zadatka tiče, čini mi se da tu imamo posla sa iracionalnim nejednačinama i gomilom uslova koje one treba da zadovolje. Jeste li radili to?

Da, ukapirao sam fazon obih trigonometrijskih nejednacina. A u ovom prvom zadatku dobijam [inlmath]-\frac{2}{9}<t<\frac{1}{2}[/inlmath] Zbunjuje me ovo [inlmath]\sin\frac{x}{6}=-\frac{2}{9}[/inlmath]. tj. ne znam kako da tu odredim ugao.Moguce je da sam pogresio.

Stevane, sve je sasvim tačno što govoriš, samo je notacija malo zbunjujuća, pa mi, nadam se, nećeš zameriti ako pokušam da malo korigujem neke detalje.

Nije pravilno pisati [inlmath]\cos x>\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] – tako napisana nejednakost, zapravo, ne znači ništa. Kad bismo umesto znaka nejednakosti imali znak jednakosti, tj. [inlmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], to bi bilo savršeno jasno – [inlmath]\cos x[/inlmath] bi tada mogao imati neku od dve vrednosti, [inlmath]-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. Ali, pošto imamo znak nejednakosti, to je onda pravilno pisati na onaj način na koji je Miladin napisao, [inlmath]\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}\;\lor\;\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath].

I, zapravo bi bilo pravilnije reći da iz [inlmath]\cos x>\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] sledi da je [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] (obavezno [inlmath]2k\pi[/inlmath], zbog periodičnosti), a iz [inlmath]\cos x<-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] sledi da je [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], tj. između [inlmath]-\frac{\pi}{6}+\left(2k+1\right)\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}+\left(2k+1\right)\pi[/inlmath], pa bi onda unija tih rešenja bila između [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]2k[/inlmath] i [inlmath]2k+1[/inlmath], kao skup parnih i skup neparnih prirodnih brojeva, zajedno čine ceo skup prirodnih brojeva.
Onako kako si ti napisao možda jeste lakše za razumevanje i bez mnogo komplikovanja, ali ovako je ipak pravilnije.

Što se prvog zadatka tiče, Miladine, ispravno si rešio kvadratnu jednačinu, dobivši [inlmath]-\frac{2}{9}<t<\frac{1}{2}[/inlmath]. Međutim, kao što Stevan reče, pre započinjanja rešavanja jednačine moraš postaviti neke uslove. Pre svega, potkorena veličina ne sme biti negativna – ako je negativna, leva strana nejednačine nije definisana, pa onda ništa ni od rešavanja same nejednačine. Znači, prvi i osnovni uslov je, da je potkorena velićina [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Dalje, pošto prilikom kvadriranja obe strane nejednačine gubimo informaciju o znaku, moramo pre kvadriranja da diskutujemo i sledeće: pošto je leva strana nejednačine uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath] (jer kvadratni koren, po svojoj definiciji, uvek daje vrednost koja je [inlmath]\ge 0[/inlmath]), a desna strana nejednačine je manja od leve, to znači da će nejednačina sigurno biti zadovoljena onda kada je desna strana nejednačine [inlmath]<0[/inlmath].

Sve to, konkretno, znači: nađeš rešenja kvadratne jednačine, kao što si već učinio; nađeš uniju skupa tih rešenja sa skupom vrednosti [inlmath]t[/inlmath] za koje je vrednost desne strane nejednačine manja od nule; na kraju, nađeš presek prethodno dobijenog skupa sa skupom vrednosti [inlmath]t[/inlmath] za koje je potkorena veličina [inlmath]\ge 0[/inlmath].
Kao konačno rešenje po [inlmath]t[/inlmath] dobićeš [inlmath]t<\frac{1}{2}[/inlmath].

E, posle ide odbacivanje rešenja koja su van intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] (jer [inlmath]t[/inlmath] predstavlja sinus, a vrednost sinusa je iz tog intervala), vraćanje smene, računanje [inlmath]x[/inlmath] itd.

Dakle, ako sam dobro razumeo, imamo kao resenje kvadratne nejednacine [inlmath]t\in\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{2}\right)[/inlmath]
Sa desne strane nejednacine imamo vrednosti za koje je desna strana manja od nule,tj. [inlmath]t<\frac{1}{6}[/inlmath]
Sad nadjem uniju [inlmath]t\in\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{6}\right)\cup\left(\frac{1}{6},\frac{1}{2}\right)[/inlmath]. Je li dobro?

Pa, nije. Ne znam kako si dobio tu uniju. Dakle, ako je jedan skup rešenja [inlmath]\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{2}\right)[/inlmath], a drugi skup rešenja [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)[/inlmath], onda je njihova unija [inlmath]\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{2}\right)\cup\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)[/inlmath], zar ne?

Naravno, ta unija se onda svodi na [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Uspeo sam da sredim ove unije... i dobija se da se [inlmath]t[/inlmath] nalazi u intervalu izmedju minus beskonacno i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Valjda uzimajuci u obzir da je [inlmath]t=\sin\frac{x}{6}[/inlmath] umesto minus beskonacno pisao bih [inlmath]-1[/inlmath]. Nadjem ja uglove, ali ne znam kako dalje.

Tako je, napišeš da [inlmath]\sin\frac{x}{6}\in\left[-1,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Pa, ako si našao uglove, nema ništa dalje. U zadatku se upravo to i tražilo – naći [inlmath]x[/inlmath], to jest uglove.

Ove uglove sam nasao, ali nisam nasao intervale kome pripada [inlmath]x[/inlmath]. Imam [inlmath]\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Sad ovde nisam siguran kako da odredim interval. Valjda je [inlmath]x\in (\pi+12k\pi,5\pi+12k\pi)[/inlmath]. A za drugu nejednacinu [inlmath]\sin\frac{x}{6}\ge -1[/inlmath], tj. [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=9\pi+12k\pi[/inlmath] za [inlmath]x=-1[/inlmath]. Ako je ovo dobro, kako bi se odredilo krajnje resenje?

Miladin Jovic je napisao:Imam [inlmath]\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath].

Vrlo je nepravilno ovde pisati [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], zato što su, zbog stroge nejednakosti u nejednačini [inlmath]\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath], upravo to vrednosti koje [inlmath]x[/inlmath] ne može imati. Razumem da si hteo da kažeš da su to granice između intervala kojima [inlmath]x[/inlmath] pripada i intervala kojima [inlmath]x[/inlmath] ne pripada, ali sâm način ovakvog pisanja nije dobar.

Miladin Jovic je napisao:Valjda je [inlmath]x\in (\pi+12k\pi,5\pi+12k\pi)[/inlmath].

Nije, to bi bilo za suprotan slučaj, kada bismo imali suprotno okrenut znak nejednakosti, tj. [inlmath]\sin\frac{x}{6}{\color{red}>}\frac{1}{2}[/inlmath].

Miladin Jovic je napisao:A za drugu nejednacinu [inlmath]\sin\frac{x}{6}\ge -1[/inlmath], tj. [inlmath]\sin\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=9\pi+12k\pi[/inlmath] za [inlmath]x=-1[/inlmath]. Ako je ovo dobro, kako bi se odredilo krajnje resenje?

Drugu nejednačinu ne treba ni da rešavaš, jer je ona uvek zadovoljena, tj. sinus je uvek [inlmath]\ge -1[/inlmath], za svako [inlmath]x[/inlmath]. To jest, rešenje te druge nejednačine bi bilo [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].

---

Nacrtaš trigonometrijsku kružnicu i sa nje praktično rešavaš nejednačinu [inlmath]-1\le\sin\frac{x}{6}<\frac{1}{2}[/inlmath].

Na [inlmath]y[/inlmath]-osi, na kojoj meriš sinus, uočiš interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] (na slici obeležen crveno):


Zatim uočiš koje su to tačke na trigonometrijskoj kružnici čije bi projekcije na [inlmath]y[/inlmath]-osu odgovarale graničnoj vrednosti nejednačine, tj. [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]:


I na kraju spojiš centar trigonometrijske kružnice s tim tačkama na kružnici, uočiš uglove koje te duži grade s pozitivnim delom [inlmath]x[/inlmath]-ose; obeležiš oblast uglova za koje će se vrednost sinusa nalaziti u zadatom intervalu (na slici obeležen žućkasto):


Na ovaj način vrlo lako možeš očitati u kojim intervalima treba da se nalaze traženi uglovi da bi nejednačina bila zadovoljena.

Hvala puno, konacno shvatio kako naci te intervale na jednostavan nacin. Resenje je [inlmath]x\in(5\pi+12k\pi,13\pi+12k\pi)[/inlmath]?

Kako dobijete ovo?
[dispmath]\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}\;\lor\;\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]

Govoriš o ovom postu.
Dakle, data je nejednačina
[dispmath]4\cos^2x-3>0[/dispmath]
Rešimo je po [inlmath]\cos x[/inlmath],
[dispmath]4\cos^2x>3\\
\cos^2x>\frac{3}{4}[/dispmath]
Korenujemo obe strane>
[dispmath]\sqrt{\cos^2x}>\sqrt{\frac{3}{4}}\\
\left|\cos x\right|>\frac{\sqrt 3}{2}\\
\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}\;\lor\;\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]

A npr
[dispmath](\mathrm{tg}\:x-1)\left(\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3\right)<0[/dispmath]
To se resava da je
[dispmath]\mathrm{tg}\:x-1>0[/dispmath]
i
[dispmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3<0[/dispmath]
ali zasto ne obrnuto? tj zasto nemam dva slucaja, kad je prvo vece drugo manje i obrnuto?

Zbog toga što je [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath] uvek veće od [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3[/inlmath] (budući da je [inlmath]1<\sqrt 3[/inlmath]), pa samim tim nije moguće da [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath] bude negativno, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt 3[/inlmath] pozitivno.

Ako bi postavio uslov da je [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1<0[/inlmath], a [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt{3}>1[/inlmath], to bi značilo da je [inlmath]\mathrm{tg}\:x<1[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:x>\sqrt{3}[/inlmath], što svakako ne može da važi u isto vreme.

Takođe, za svako [inlmath]x[/inlmath] je [inlmath]\mathrm{tg}\:x-\sqrt{3}<\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath]. Sasvim jasno, ako je desna strana negativna, onda je i leva, što bi dalo pozitivan proizvod.

Možeš ti svakako da postaviš i taj drugi uslov, ali da nakon toga zaključiš da je ta situacija nemoguća.

EDIT: Daniel je bio brži, ali neka ostane i ovo moje.

... Mada ovo je primer kojeg sam se setio prvog za problem koji imam, a sad sam nasao taj zadatak:
[dispmath]\sin 3x<\sin x[/dispmath][dispmath]\sin 3x-\sin x<0[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos 2x<0[/dispmath]
kako dalje? ja sam radio ali negde sam se zapetljao
edit: greska ispravljena

Dalje ide šablonski... posavljaš uslove [inlmath]\left(\sin x>0\;\land\;\cos 2x<0\right)\;\lor\;\left(\sin x<0\;\land\;\cos 2x>0\right)[/inlmath]...

Ma znam to... Ali resenja ne mogu dobra da dobijem kad radim tako...

Pa, ne znam šta da ti odgovorim kad je pitanje tako uopšteno... Da si priložio svoj postupak, mogao bih tačno da ti kažem, e greška ti je tu i tu...
Uglavnom, radiš odvojeno za prvi i za drugi slučaj, nakon čega odrediš njihovu uniju. Npr. za prvi slučaj, [inlmath]\sin x>0\;\land\;\cos 2x<0[/inlmath], odrediš s trigonometrijske kružnice rešenja po [inlmath]x[/inlmath] iz nejednačine [inlmath]\sin x>0[/inlmath], zatim iz nejednačine [inlmath]\cos 2x<0[/inlmath] rešenja po [inlmath]2x[/inlmath], iz čega zatim nađeš i rešenja po [inlmath]x[/inlmath], ucrtaš i jedne i druge intervale rešenja po [inlmath]x[/inlmath] u trigonometrijsku kružnicu i nađeš njihove preseke... Isto to i za drugi slučaj...

Kažem, najbolje da napišeš kako si radio, makar i samo s međukoracima, ili bar da napišeš rešenje koje si dobio...

[dispmath]3\sin(2x-3)>-\sqrt 7[/dispmath]
Da li moze neko da mi pomogne?

Može, ako kažeš šta tačno treba u ovom zadatku da ti se pomogne, tj. u kom koraku je došlo do problema. Tačka 6. Pravilnika.

Uputio bih te da se upoznaš i s ostalim pravilima, konkretno s tačkom 13. (upotreba Latex-a). Korigovao sam sad, al' da znaš radi budućih postova.

Aha, nova sam ovde. I izvinjavam se Procitacu malo datealjnije. Trebala bi mi ideja za resavanje zadatka. Znam da krenem, tj da podelim sa [inlmath]3[/inlmath] i onda dobijem sa desne strane izraza [inlmath]-0,8819\ldots[/inlmath] Sto znaci da je na intervalu izmedju [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], i da treba da resavam..Ali ne znam kako..Pa ako moze pomoc oko toga.

Zaboravila sam da naglasim da ne smem da koristim digitron pri resavanju ovog zadatka..

[inlmath]-\frac{\sqrt 7}{3}[/inlmath] ne spada u vrednosti sinusa za karakteristične uglove, tako da to ne možeš napisati drugačije nego kao [inlmath]\arcsin\left(-\frac{\sqrt 7}{3}\right)[/inlmath].
Pre svega, ne treba ti digitron da bi se uverila da je [inlmath]-\frac{\sqrt 7}{3}\le 1[/inlmath]. Pošto je [inlmath]7<9[/inlmath] a kvadratni koren je rastuća funkcija, korenovanjem se ne menja smer znaka nejednakosti:
[dispmath]7<9\quad\Rightarrow\quad\sqrt 7<\sqrt 9=3\quad\Rightarrow\quad\sqrt 7<3[/dispmath]
Kad obe strane podelimo sa [inlmath]3[/inlmath],
[dispmath]\frac{\sqrt 7}{3}<1[/dispmath]
Množenjem obe strane sa [inlmath]-1[/inlmath] menja se smer znaka nejednakosti:
[dispmath]-\frac{\sqrt 7}{3}>-1[/dispmath]
Dakle, iz [inlmath]3\sin\left(2x-3\right)>-\sqrt 7[/inlmath] jedino možemo napisati, posmatrajući na trigonometrijskoj kružnici oblast uglova (na slici obeležena zeleno) za koje nejednakost važi,


[dispmath]-\arcsin\frac{\sqrt 7}{3}+2k\pi<2x-3<\pi+\arcsin\frac{\sqrt 7}{3}+2k\pi[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\frac{3-\arcsin\frac{\sqrt 7}{3}}{2}+k\pi<x<\frac{3+\pi+\arcsin\frac{\sqrt 7}{3}}{2}+k\pi}[/dispmath]

Hvala puno.