MATEMANIJA

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt 2\cdot\sin 2x[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath] jednak je?
Ja sam zadatak radio na ovaj način:
[dispmath]\sin x\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin x\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt 2\cdot 2\cdot\sin x\cdot\cos x[/dispmath]
Odavde sam dobio [inlmath]\cos x={1\over 2}[/inlmath], i na datom intervalu imaju dva rešenja: [inlmath]x_1=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]x_2=\frac{5\cdot\pi}{3}[/inlmath]. Kada se saberu dobija se [inlmath]2\cdot\pi[/inlmath], a u rešenjima kaže [inlmath]3\cdot\pi[/inlmath]

Znači, dobio si jednačinu
[dispmath]\sin x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cancel{\cos x\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\sin x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cancel{\cos x\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}=2\sqrt 2\sin x\cos x[/dispmath]
odakle je
[dispmath]\cancel{\sqrt 2}\sin x=2\cancel{\sqrt 2}\sin x\cos x[/dispmath]
međutim, ti si u tom koraku verovatno greškom kratio i sinus, čime si izgubio moguća rešenja za slučaj da je sinus jednak nuli. Pravilno bi bilo:
[dispmath]2\sin x\cos x-\sin x=0[/dispmath][dispmath]\sin x\left(2\cos x-1\right)=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
čime bi dobio još jedno rešenje u zadatom intervalu, a to rešenje je [inlmath]\pi[/inlmath].