MATEMANIJA

E ovako, ovo je moj prvi post ovde, i ima li neko ideju kako se radi ovo?
[dispmath]\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>1[/dispmath]
(trazi se skup svih resenja, inace )

Srećan ti prvi post. Zbog uslova nenegativnosti potkorene veličine, imamo uslov [inlmath]\sin x\ge 0[/inlmath] i [inlmath]\cos x\ge 0[/inlmath], koji će biti ispunjeni onda kada je [inlmath]x\in\left[2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right][/inlmath].

Jedinicu na desnoj strani napiši kao [inlmath]\sin^2x+\cos^2x[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>\sin^2x+\cos^2x[/dispmath]
Kvadrate sinusa i kosinusa prebacimo na levu stranu:
[dispmath]\sqrt{\sin x}-\sin^2x+\sqrt{\cos x}-\cos^2x>0[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x\in\left[2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right][/inlmath], biće i [inlmath]\sin x\in\left[0,1\right][/inlmath] i [inlmath]\cos x\in\left[0,1\right][/inlmath]. Zbog toga će biti [inlmath]\sqrt{\sin x}\ge\sin^2x[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{\cos x}\ge\cos x[/inlmath], pri čemu jednakost važi onda kada je potkorena i kvadrirana veličina jednaka nuli ili jedinici. Prema tome, posmatramo odvojeno slučaj kada su [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i slučaj kada bar neka od te dve funkcija uzima vrednost iz skupa [inlmath]\left\{0,1\right\}[/inlmath].

---

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]\sin x\in\left(0,1\right),\;\cos x\in\left(0,1\right)[/inlmath]
[dispmath]\underbrace{\sqrt{\sin x}-\sin^2x}_{>0}+\underbrace{\sqrt{\cos x}-\cos^2x}_{>0}>0[/dispmath]
Prema tome, za [inlmath]\sin x\in\left(0,1\right),\;\cos x\in\left(0,1\right)[/inlmath], tj. za [inlmath]x\in\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath], nejednačina je uvek zadovoljena.

---

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]\sin x\in\left\{0,1\right\}\;\lor\;\cos x\in\left\{0,1\right\}[/inlmath]
Primetimo da važi
[dispmath]\sin x=0\quad\Leftrightarrow\quad\cos x=1\\
\sin x=1\quad\Leftrightarrow\quad\cos x=1[/dispmath]
Prema tome, dovoljno je da razmatramo samo ta dva podslučaja.
[dispmath]\sin x=0,\;\cos x=1\quad\Rightarrow\quad\sqrt 0-0^2+\sqrt 1-1^2>0[/dispmath][dispmath]0>0[/dispmath]
Nejednačina nije zadovoljena.
[dispmath]\sin x=1,\;\cos x=0\quad\Rightarrow\quad\sqrt 1-1^2+\sqrt 0-0^2>0[/dispmath][dispmath]0>0[/dispmath]
Ni u ovom slučaju nejednačina nije zadovoljena.

---

Prema tome, rešenja ove nejednačine su ona dobijena u [inlmath]I[/inlmath] slučaju, dakle, [inlmath]x\in\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath].

Jasno ko dan
U zbirci odradjeno preko funkcija i izvoda al dobija se isto resenje
Hvala puno, odlican sajt, puno mi je pomogao