MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 9. jul 2014.
11. zadatak

Ako je [inlmath]\text{tg }1007^\circ=m[/inlmath], onda je [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] jednak?
Odgovor kaze [inlmath]\displaystyle\frac{2m}{1+m^2}[/inlmath].

Znam da mi je [inlmath]\text{tg}=\displaystyle\frac{\sin}{\cos}[/inlmath] pa zato iz toga znam da mi je brojilac [inlmath]2m[/inlmath] ali ne razumijem kako doci do izraza za nazivnik

Nisam siguran jesam li dobro razumeo logiku koju si izložio, ali ako sam shvatio šta želiš reći, onda ne razmišljaš dobro, jer [inlmath]\sin2\alpha[/inlmath] nije jednako [inlmath]2\sin\alpha[/inlmath], pa ne možeš na taj način zaključiti da brojilac treba da bude [inlmath]2m[/inlmath].

Primeni formulu za sinus dvostrukog ugla, [inlmath]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/inlmath], a zatim i sinus i kosinus izrazi preko tangensa (odgovarajuće formule možeš naći u ovoj temi).
Naravno, moraš voditi računa i o predznaku – odredi koji predznak ima [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath], kao i koji predznak ima [inlmath]\text{tg }1007^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]m[/inlmath].

Daniel je napisao:Naravno, moraš voditi računa i o predznaku – odredi koji predznak ima [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath], kao i koji predznak ima [inlmath]\text{tg }1007^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]m[/inlmath].

E ovo je jedna caka s kojom se i nisam baš susreto često. Naravno uradio sam zadatak pogrešno u rezultatu sam samo imao predznak minus. Stvar je u tome što kada izražavamo sinus preko tangensa u brojniku treba da bude apsolutna vrijednost. A kod mene u školskoj svesci toga znaka apsolutne vrijednosti nema. Pa sam tako i naučio. E sada ne znam kako ide na tim prijemnima gdje se zaokružuje riješenje. Tada moraju gledati i postupak. Pitanje je da sam uradio sa ovim jednim predznakom pogrešnim i zaokružio pogrešan odgovor da li čitav zadatak pada u vodu?

Gamma je napisao:Stvar je u tome što kada izražavamo sinus preko tangensa u brojniku treba da bude apsolutna vrijednost. A kod mene u školskoj svesci toga znaka apsolutne vrijednosti nema. Pa sam tako i naučio.

Zapravo, originalni oblik te formule glasi
[dispmath]\sin^2\alpha=\frac{\text{tg}^2\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}[/dispmath] E sad, nakon korenovanja obe strane,
[dispmath]\sqrt{\sin^2\alpha}=\sqrt{\frac{\text{tg}^2\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}}[/dispmath] i primenjujući [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath],
[dispmath]|\sin\alpha|=\frac{|\text{tg }\alpha|}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}\\
\sin\alpha=\pm\frac{|\text{tg }\alpha|}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}\\
\sin\alpha=\pm\frac{\text{tg }\alpha}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}[/dispmath] Pretpostavljam da, kad govoriš o formuli bez apsolutne vrednosti, misliš na ovu poslednju, koja umesto apsolutne vrednosti ima znak [inlmath]\pm[/inlmath] (koji označava da umesto njega moramo staviti ili plus ili minus, a koji od ta dva znaka stavljamo to moramo posebno da utvrdimo).
Međutim, u ovom zadatku je pogodnije koristiti onaj prethodni izraz s apsolutnim vrednostima, [inlmath]\displaystyle|\sin\alpha|=\frac{|\text{tg }\alpha|}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}[/inlmath], jer nam je ovde zgodnije da prvo izrazimo [inlmath]|\sin2014^\circ|[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]|m|[/inlmath], pa tek zatim određujemo predznak [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] i predznak [inlmath]m[/inlmath] i na osnovu ta dva predznaka određujemo i koji predznak treba staviti u vezu između ta dva izraza.

Gamma je napisao:E sada ne znam kako ide na tim prijemnima gdje se zaokružuje riješenje. Tada moraju gledati i postupak. Pitanje je da sam uradio sa ovim jednim predznakom pogrešnim i zaokružio pogrešan odgovor da li čitav zadatak pada u vodu?

Pa, čim si zaokružio pogrešan odgovor...
Na prijemnima se baš namerno i stavljaju takve „zamke“ u zadatke.

Da mislio sam na tu formulu. Valjda misliš treba da izrazimo [inlmath]|\sin1007^\circ|[/inlmath]. Jer [inlmath]|\sin2014^\circ|[/inlmath] rastavimo preko dvostrukog ugla.
Koliko vidim kod vas u Beogradu skoro na svakom faxu je prijemni na zaokruživanje. Dok kod nas u Banjaluci samo je tako na PMF-u.

Ne, mislio sam baš na [inlmath]|\sin 2014^\circ|[/inlmath]. Jer, kao što sam i napisao, prvo odrediš apsolutnu vrednost od [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] u zavisnosti od apsolutne vrednosti [inlmath]m[/inlmath], da bi tek na kraju, uzimajući u obzir predznak [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] i predznak [inlmath]m[/inlmath], odredio i koji predznak treba da staviš u izrazu za njihovu vezu.

Daniel je napisao:Jer, kao što sam i napisao, prvo odrediš apsolutnu vrednost od [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] u zavisnosti od apsolutne vrednosti [inlmath]m[/inlmath]

Nije mi jasno šta si htio reći ja ne znam ni jedan način da to izrazim ako ne rastavim kao sinus dvostrukog ugla. Mislim samo tako znam da povežem sinus sa parametrom [inlmath]m[/inlmath].

Evo, ovako sam mislio:
[dispmath]|\sin 2014^\circ|=2|\sin1007^\circ|\cdot|\cos1007^\circ|=\cdots=\frac{2|m|}{1+m^2}[/dispmath] i sada, da bi se oslobodio apsolutnih vrednosti, potrebno je da odrediš predznak za [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] i predznak za [inlmath]m[/inlmath] – to jest, da li je [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] pozitivno ili negativno, kao i da li je [inlmath]m[/inlmath] pozitivno ili negativno...

Jasno mi je sada Ovako je ipak jednostavnije.

Gosha je napisao:Ako je [inlmath]\text{tg }1007^\circ=m[/inlmath], onda je [inlmath]\sin2014^\circ[/inlmath] jednak?

Moze i ovako:
[dispmath]\sin2014^\circ=\sin2\cdot1007^\circ[/dispmath] Sada nadjemo vezu izmedju sinusa dvostrukog ugla i tangensa
[dispmath]\sin2x=\frac{\sin2x}{1}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x+\sin^2x}[/dispmath] Zatim i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] nakon cega se dobija da je
[dispmath]\sin2x=\frac{2\text{ tg }x}{1+\text{tg}^2x}[/dispmath] To jest
[dispmath]\enclose{box}{\sin2014^\circ=\sin2\cdot1007^\circ=\frac{2\text{ tg }1007^\circ}{1+\text{tg}^21007^\circ}=\frac{2m}{1+m^2}}[/dispmath]