MATEMANIJA

Naletio sam na jednu trigonometrijsku jednačinu sa inverznim funkcijama koja se sigurno radi preko ovih formula. Mi smo rijetko rješavali jednačine sa arkusima a i to što smo radili bilo je nešto banalno. Znači zanima me kako se izvode ove formule. Naravno ne tražim da mi neko sada ovo sve izvede već samo da mi da ideju kako se počinje. I zapravo rade li se one na redovnoj nastavi? Mi ih nismo radili. Sada ne znam što, nije po planu i programu ili šta već? Eto koliko sam ja i zaključio ispada da se nešto rijetko koriste mislim nisu toliko ni bitne. Ali sigurno ima razlog za to.

Zbir i razlika:
[dispmath]\arcsin x+\arcsin y=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)[/dispmath][dispmath]\arcsin x-\arcsin y=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right)[/dispmath][dispmath]\arccos x+\arccos y=\arccos\left(xy-\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)[/dispmath][dispmath]\arccos x-\arccos y=\arccos\left(xy+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\right)[/dispmath][dispmath]\text{arctg }x+\text{arctg }y=\text{arctg}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)[/dispmath][dispmath]\text{arctg }x-\text{arctg }y=\text{arctg}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)[/dispmath] Veze između inverznih funkcija:
[dispmath]\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]\text{arctg }x+\text{arcctg }x=\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]\text{arctg }x+\text{arctg }\frac{1}{x}=\begin{cases}\phantom{-}\frac{\pi}{2},\quad x>0\\ \\-\frac{\pi}{2},\quad x<0\end{cases}[/dispmath] Kompozicija inverznih funkcija:
[dispmath]\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}[/dispmath][dispmath]\text{tg}\left(\arcsin x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/dispmath][dispmath]\sin(\text{arctg }x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/dispmath][dispmath]\text{tg}\left(\arccos x\right)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}[/dispmath][dispmath]\cos(\text{arctg }x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/dispmath][dispmath]\text{ctg}\left(\arcsin x\right)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}[/dispmath][dispmath]\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}[/dispmath][dispmath]\text{ctg}\left(\arccos x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/dispmath]

Koliko ja znam, ne rade se na redovnoj nastavi.

Pokazaću ti izvođenje formule
[dispmath]\arcsin x+\arcsin y=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)[/dispmath] a ti možeš zatim pokušati da na sličan način izvedeš i ostalo.

Prvo, ovaj identitet nije uvek tačan, već važi pod određenim uslovima.
Kotraprimer [inlmath]1:\quad\underline{x=y=1:}[/inlmath]
[dispmath]\arcsin1+\arcsin1=\arcsin\left(1\cdot\sqrt{1-1^2}+1\cdot\sqrt{1-1^2}\right)\\
2\arcsin1=\arcsin(0+0)\\
\cancel2\cdot\frac{\pi}{\cancel2}=0\\
\pi=0\\
\bot[/dispmath] Kotraprimer [inlmath]2:\quad\underline{x=y=-1:}[/inlmath]
[dispmath]\arcsin(-1)+\arcsin(-1)=\arcsin\left[(-1)\cdot\sqrt{1-(-1)^2}+(-1)\cdot\sqrt{1-(-1)^2}\right]\\
2\arcsin(-1)=\arcsin\left(-\sqrt{1-1}-\sqrt{1-1}\right)\\
\cancel2\cdot\left(-\frac{\pi}{\cancel2}\right)=\arcsin0\\
-\pi=0\\
\bot[/dispmath] Idemo sad na dokazivanje identiteta, uz postavljanje neophodnih uslova.

Pre svega, da bi leva strana jednačine (od koje u ovom dokazivanju krećemo) bila definisana, neophodno je da se i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] nalaze u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].

Za [inlmath]\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] važi [inlmath]\alpha=\arcsin(\sin\alpha)[/inlmath]. Van tog intervala, ne važi. Zbog toga, na levu stranu jednačine možemo primeniti taj identitet, uz pretpostavku da je ta leva strana u pomenutom intervalu, tj. da važi [inlmath]-\frac{\pi}{2}\le\arcsin x+\arcsin y\le\frac{\pi}{2}[/inlmath].
[dispmath]\arcsin x+\arcsin y=\arcsin[\sin(\arcsin x+\arcsin y)]=[/dispmath] Zatim primenimo adicionu formulu za sinus zbira,
[dispmath]=\arcsin[\sin(\arcsin x)\cos(\arcsin y)+\cos(\arcsin x)\sin(\arcsin y)]=[/dispmath] Kada je [inlmath]\arcsin x[/inlmath] definisan (a postavili smo uslov za vrednost [inlmath]x[/inlmath] da jeste definisan), tada važi [inlmath]\sin(\arcsin x)=x[/inlmath]. Isto, naravno, važi i za [inlmath]\sin(\arcsin y)=y[/inlmath]:
[dispmath]=\arcsin[x\cos(\arcsin y)+y\cos(\arcsin x)]=[/dispmath] Na kosinuse možemo primeniti formulu [inlmath]\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}[/inlmath]. Pri tome, pošto su [inlmath]\arcsin x[/inlmath] i [inlmath]\arcsin y[/inlmath] uvek u intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], tada će i njihov kosinus biti pozitivan (ili nula). Prema tome, u formuli za kosinus umesto [inlmath]\pm[/inlmath] uzimamo plus ispred korena:
[dispmath]=\arcsin\left[x\sqrt{1-\sin^2(\arcsin y)}+y\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}\right]=\\
=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)[/dispmath] što je i trebalo dokazati.

Dakle, još jednom da naglasim, ovaj dokazani identitet ne važi za bilo koje [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], već, pre svega, za [inlmath]x\in[-1,1][/inlmath] i [inlmath]y\in[-1,1][/inlmath] (zbog definisanosti), a i za [inlmath]-\frac{\pi}{2}\le\arcsin x+\arcsin y\le\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Svaka čast, to je ono što sam tražio. Uglavnom vidim izgleda da je glavna fora za izvođenje da se poništi trigonometrijska funkcija sa inverznom funkcijom. Dobro to je za zbir i razliku. Meni u ovome zadatku trebaju ovde veze između funkcija ako bi mogao sam jednu da započneš da izvodiš ja ću nastaviti jer stvarno nemam nikakve ideje.

Od mog (vrlo detaljnog) odgovora pa do tvog novog pitanja nije prošlo ni sat vremena, što samo pokazuje da nisi ni pokušao da malo ozbiljnije razmisliš o načinu dokazivanja veze između funkcija, koje se započinje na vrlo sličan način kao i ovo koje sam pokazao, a mnogo je jednostavnije – dokazuje se bukvalno u tri reda.

Sasvim je u redu da nešto pitaš kad ti nije jasno, ali ovo je već zapitkivanje...

Malo sam požurio jer mi je taj zadatak trebao za danas. Kažeš na vrlo sličan način? Evo konačno dokazao sam i ja to u ta tri reda. Upotrijebio sam samo prvi izvod da bih dokazao da je funkcija konstantna. I iz toga važi da je vrijednost ista za sve elemente iz domena. Ako misliš na taj dokaz. Ja sam pokušavao na fazon da se ponište [inlmath]\arcsin x[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath] ali izgleda to nije bio pravi put. Nije mi se dalo nešto iskombinovati. Možda i može tako ali nisam siguran.

Može i preko prvog izvoda, ali nisam mislio na taj dokaz. Mislio sam, još jednom kažem, na vrlo sličan način kao ovaj koji sam pokazao, dakle, s primenom formule [inlmath]\alpha=\arcsin(\sin\alpha)[/inlmath] za [inlmath]\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], s tim što prethodno [inlmath]\arccos x[/inlmath] prebaciš na desnu stranu...

Eto, sve sam ti već praktično rekao...

Konačno uradio sam ga i na taj način. Jednostavno je, na kraju se dobije da je [inlmath]x=x[/inlmath].

Kako smo zakljucili da za [inlmath]\sin(\text{arctg }x)[/inlmath] biramo pozitivnu mogucnost prilikom izvodjenja?

Pretpostavljam da misliš na identitet [inlmath]\sin(\text{arctg }x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/inlmath].
Predznak funkcije [inlmath]\text{arctg }x[/inlmath] isti je kao i predznak promenljive [inlmath]x[/inlmath].
A pošto [inlmath]\text{arctg }x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], predznak funkcije [inlmath]\sin(\text{arctg }x)[/inlmath] biće isti kao i predznak argumenta tog sinusa, tj. kao predznak [inlmath]\text{arctg }x[/inlmath].
To znači, predznak leve strane biće isti kao i predznak promenljive [inlmath]x[/inlmath].
Pošto na desnoj strani imamo [inlmath]x[/inlmath] u brojiocu, jasno je onda da imenilac mora biti pozitivan kako bi leva i desna strana jednakosti imale isti predznak. Zbog toga uzimamo [inlmath]+[/inlmath] ispred korena.