Trigonometrijska nejednačina

od andrijana_ » Subota, 14. Mart 2015, 00:50

Ako može neko da mi pripomogne da rešim ili da smernice oko ovog zadatka, bas me muči
[dispmath]\cos x+\cos2x+\cos3x>0[/dispmath]
Evo kako sam ja radila:
[dispmath]\cos2x(2\cos x+1)>0[/dispmath]
Sada sam razdvojila na dva slucaja:
[dispmath]\cos2x<0\;\land\;\cos x<-\frac{1}{2}\;\lor\;\cos2x>0\;\land\;\cos x>-\frac{1}{2}[/dispmath]
Rešenje koje treba da se dobije je [inlmath]\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4}+2n\pi,\;\frac{4\pi}{3}+2n\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{4}+2l\pi,\;\frac{\pi}{4}+2l\pi\right)[/inlmath]
Ne uspevam da se snađem sa presecima i unijama ovih nejednacina.

• +2

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Stefanowsky za post (ukupno 2):
  andrijana_, Daniel

  Reputacija: 8.7%

Re: Trigonometrijska nejednačina

od Stefanowsky » Subota, 14. Mart 2015, 02:03

Resenje prvog dela je:
[dispmath]\cos 2x<0\quad\land\quad\cos x<-\frac{1}{2}\\
2x\in\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)\quad\land\quad x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)\\
x\in\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\;\frac{3\pi}{4}+k\pi\right)\quad\land\quad x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)[/dispmath]
Kada nacrtas ove oblasti na trigonometrijskom krugu vidi se da je resenje:
[dispmath]x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)[/dispmath]
Drugi deo zadatka:
[dispmath]\cos 2x>0\quad\land\quad\cos x>-\frac{1}{2}\\
2x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\quad\land\quad x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)\\
x\in\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi,\;\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\quad\land\quad x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)[/dispmath]
Opet nacrtas trigonometrijski krug i jasno se uocava resenje:
[dispmath]x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)[/dispmath]
Slobodno pitaj ukoliko nisam bio u potpunosti jasan

Re: Trigonometrijska nejednačina

od Gamma » Subota, 14. Mart 2015, 02:21

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Daniel za post:
  andrijana_

  Reputacija: 4.35%

Re: Trigonometrijska nejednačina

od Daniel » Subota, 14. Mart 2015, 02:47

@Stefanowsky,

@andrijana_, samo jedna napomena,

andrijana_ je napisao:Sada sam razdvojila na dva slucaja:
[dispmath]\cos2x<0\;\land\;\cos x<-\frac{1}{2}\;\lor\;\cos2x>0\;\land\;\cos x>-\frac{1}{2}[/dispmath]

U ovom zapisu moraš koristiti zagrade, jer su [inlmath]\land[/inlmath] i [inlmath]\lor[/inlmath] logičke operacije ravnopravne po prioritetu, pa kad ne bi bilo zagrada, operacije bi se izvršavale sleva nadesno (kao što je to slučaj, recimo, kod sabiranja i oduzimanja). Zbog toga mora sa zagradama:
[dispmath]\left(\cos2x<0\;\land\;\cos x<-\frac{1}{2}\right)\;\lor\;\left(\cos2x>0\;\land\;\cos x>-\frac{1}{2}\right)[/dispmath]

Re: Trigonometrijska nejednačina

od andrijana_ » Subota, 14. Mart 2015, 12:27

Izvini, ali ovo ne uspevam da razumem. Kako da dobijem ovu uniju rešenja? Odakale ti se pojavljuje [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath]. Probala sam da nacrtam na trigonometrijskom krugu, ali ja to ne uočavam, negde grešim.

Stefanowsky je napisao:[dispmath]x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)[/dispmath]

Hvala Daniele na ispravci, ubuduće ću koristiti zagrade

• +2

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Stefanowsky za post (ukupno 2):
  Daniel, andrijana_

  Reputacija: 8.7%

Re: Trigonometrijska nejednačina

od Stefanowsky » Subota, 14. Mart 2015, 13:56

Na slici je prikazano resenje. Plava boja je deo resenja [inlmath]\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\;\frac{3\pi}{4}+k\pi\right)[/inlmath] a roze [inlmath]\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)[/inlmath]. Resenje je presek - plavo-roze boja (neka bude ljubicasta )

Prikačeni fajlovi

trigonometrijski krug.png (3.63 KiB) Pogledano 1279 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

od andrijana_ » Subota, 14. Mart 2015, 16:27

• +2

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Stefanowsky za post (ukupno 2):
  Daniel, andrijana_

  Reputacija: 8.7%

Re: Trigonometrijska nejednačina

od Stefanowsky » Subota, 14. Mart 2015, 17:14

Zato sto nije u preseku. Razlog zasto se plavi deo ponavlja 2 puta je zbog [inlmath]k\pi[/inlmath] u [inlmath]\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\;\frac{3\pi}{4}+k\pi\right)[/inlmath] pa se javlja i deo [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4}\right)[/inlmath]. Kada bi i za [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] bilo [inlmath]+k\pi[/inlmath] a ne [inlmath]+2k\pi[/inlmath] pojavio bi se i deo o kojem ti pricas. Ali kako nije, taj deo nije u preseku ova dva intervala. OK?

Re: Trigonometrijska nejednačina

od andrijana_ » Subota, 14. Mart 2015, 19:18

Da da, sada mi je sve kristalno jasno Hvala ti puno na pomoći.