MATEMANIJA

Stvarno ne znam na koji fazon se radi ovaj zadatak.
Odrediti [inlmath]a,b\in\mathbb{R}[/inlmath] tako da je jednačina tačna za [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath].
[dispmath]a(\cos x-1)+b^2=\cos(ax+b^2)-1[/dispmath]

Rješenje je [inlmath]a=1,\;b=0[/inlmath]. Ali kako do njega?

Nije to jedino rešenje.

Jednačinu možemo napisati u obliku
[dispmath]a\cos x-a+b^2=\cos\left(ax+b^2\right)-1[/dispmath]
Levu i desnu stranu ove jednačine možemo posmatrati kao dve funkcije, [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath]:
[dispmath]f\left(x\right)=a\cos x-a+b^2\\
g\left(x\right)=\cos\left(ax+b^2\right)-1[/dispmath]
Da bi jednačina bila zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath], funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] moraju biti međusobno identične, tj. njihovi grafici moraju biti međusobno identični. Pošto u obe te funkcije figuriše kosinusoida, da bi grafici te dve funkcije bili međusobno identični potrebno je (ne i dovoljno) da bude ispunjen neki od sledeća dva uslova:
1) da te dve kosinusoide (na levoj i na desnoj strani) imaju jednake amplitude, frekvencije i faze (kod kosinusoide [inlmath]A\cos\left(\omega x+\varphi\right)[/inlmath] [inlmath]A[/inlmath] predstavlja amplitudu, [inlmath]\omega[/inlmath] frekvenciju, a [inlmath]\varphi[/inlmath] fazu)
ili
2) da kosinusoide (uz pogodan odabir parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]) budu svedene na konstante.

---

Slučaj 1) – kosinusoide imaju jednake amplitude, frekvencije i faze

Pošto kosinusoida na desnoj strani glasi [inlmath]\cos\left(ax+b^2\right)[/inlmath], tj. [inlmath]1\cdot\cos\left(ax+b^2\right)[/inlmath], njena amplituda je uvek [inlmath]1[/inlmath], bez obzira na vrednost parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Prema tome, potrebno je da i kosinusoida na levoj strani jednačine, [inlmath]a\cos x[/inlmath], takođe ima amplitudu [inlmath]1[/inlmath].

Pošto kosinusoida na levoj strani glasi [inlmath]a\cos x[/inlmath], tj. [inlmath]a\cos\left(1\cdot x\right)[/inlmath], njena frekvencija je uvek [inlmath]1[/inlmath], bez obzira na vrednost parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Prema tome, potrebno je da i kosinusoida na desnoj strani jednačine, [inlmath]\cos\left(ax+b^2\right)[/inlmath], takođe ima frekvenciju [inlmath]1[/inlmath] (ili [inlmath]-1[/inlmath], zbog parnosti kosinusne funkcije).

Pošto kosinusoida na levoj strani glasi [inlmath]a\cos x[/inlmath], tj. [inlmath]a\cos\left(x+0\right)[/inlmath], njena faza je uvek [inlmath]0[/inlmath], bez obzira na vrednost parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Prema tome, potrebno je da i kosinusoida na desnoj strani jednačine, [inlmath]\cos\left(ax+b^2\right)[/inlmath], takođe ima fazu [inlmath]0[/inlmath] (ili [inlmath]2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], zbog periodičnosti).

Teoretski je moguć i slučaj da su amplitude ove dve kosinusoide jednake po apsolutnim vrednostima a različitih predznaka, dok je jedna u odnosu na drugu fazno pomerena za [inlmath]\left(2k+1\right)\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] (što bi u suštini takođe bile dve kosinusoide jednake po amplitudi i po fazi), tako da i taj slučaj treba proveriti.

---

Slučaj 2) – kosinusoide su svedene na konstante

Vrednost kosinusoide može biti konstanta onda kada joj je amplituda nula (tada je, naravno, i vrednost kosinusiode nula, što je takođe konstanta), ili kada joj je frekvencija nula.

Budući da je frekvencija kosinusoide [inlmath]a\cos x[/inlmath] jednaka jedinici, ta kosinusoida može biti konstanta samo onda kada joj je amplituda nula.

Budući da je amplituda kosinusoide [inlmath]\cos\left(ax+b^2\right)[/inlmath] jednaka jedinici, ta kosinusoida može biti konstanta samo onda kada joj je frekvencija nula.

---

Naravno, budući da su svi nabrojani uslovi slučajeva 1) i 2) samo potrebni, a ne i dovoljni da bi jednačina bila zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath], potrebno je za svaki od tih uslova proveriti jesu li međusobno saglasni, kao i da li je za tako dobijene vrednosti parametara jednačina zadovoljena (ili, ako je iz tih uslova dobijena vrednost samo jednog od parametara, onda uvrštavanjem njegove vrednosti u polaznu jednačinu odrediti vrednost onog drugog parametra).

Svaka čast Ipak ovo ja malo komplikovaniji zadatak. Meni nekako naliči više na fiziku nego matematiku. Mislim ono oscilatorno kretanje. Koliko imamo još rješenja? Koja su?

Pa, to od tebe očekujem da čujem, pošto sam ti dao kompletno uputstvo kako do njih da dođeš.

Mislim da ima još samo jedno [inlmath]a=0\;b=0[/inlmath] Ali malo si me zbunio s ovim (ne i dovoljno). To ne mogu da skontam nikako. Što nije dovoljno?

Tako je, ima ukupno ta dva rešenja, znači, [inlmath]\left(a,b\right)=\left(1,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(a,b\right)=\left(0,0\right)[/inlmath].

Zašto ne i dovoljno – eto, pogledaj slučaj 2). Iz uslova slučaja 2) dobiješ da je [inlmath]a=0[/inlmath]. To je, dakle, potreban uslov da bi jednačina važila za svako [inlmath]x[/inlmath]. A da li je i dovoljan? Nije dovoljan, jer nakon uvrštavanja [inlmath]a=0[/inlmath] u početnu jednačinu, dobiješ
[dispmath]b^2=\cos b^2-1[/dispmath]
Hoće li ova jednačina biti zadovoljena zavisi od vrednosti parametra [inlmath]b[/inlmath]. Prema tome, to što su ispunjeni uslovi slučaja 2) još uvek nije garancija da će i sama jednačina biti zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath], već je potrebno dodatno odrediti i parametar [inlmath]b[/inlmath].

(Jednačina [inlmath]b^2=\cos b^2-1[/inlmath] se lako rešava, jer odmah vidimo da joj leva strana mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath], dok joj desna strana mora biti [inlmath]\le0[/inlmath].)