MATEMANIJA

Ako može pomoc oko par zadataka. Prvi zadatak sam probao da [inlmath]\mathrm{tg}\:(\alpha+\beta)[/inlmath] rastavim preko formule, dobijem
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha\cdot\mathrm{tg}\:\beta=1[/dispmath]
ali ne vidim gde to vodi.
Za drugi zadatak me sramota da priznam da ne znam da ga uradim.

I zadatak:
Naci [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\beta[/inlmath] ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha+\mathrm{tg}\:\beta=2,\;\mathrm{tg}\:(\alpha+\beta)=4[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha<\mathrm{tg}\:\beta[/inlmath]

II zadatak:
a) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=3[/inlmath]
b) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] ako je [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=−\frac{8}{13}[/inlmath] i [inlmath]\sin\alpha>\cos\alpha[/inlmath]

elfakd je napisao:Prvi zadatak sam probao da [inlmath]\mathrm{tg}\:(\alpha+\beta)[/inlmath] rastavim preko formule, dobijem
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha\cdot\mathrm{tg}\:\beta=1[/dispmath]

Ne dobije se to. Kada bi bilo [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha\cdot\mathrm{tg}\:\beta=1[/inlmath], tada bi bilo
[dispmath]\mathrm{tg}\:\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\mathrm{tg}\:\alpha+\mathrm{tg}\:\beta}{1-\mathrm{tg}\:\alpha\cdot\mathrm{tg}\:\beta}=\frac{2}{1-1}[/dispmath]
pa bismo imali deljenje nulom i [inlmath]\mathrm{tg}\:\left(\alpha+\beta\right)[/inlmath] bi bilo nedefinisano. A rečeno je da je [inlmath]\mathrm{tg}\:\left(\alpha+\beta\right)=4[/inlmath].

Uglavnom, kad pravilno odrediš koliko je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha\cdot\mathrm{tg}\:\beta[/inlmath], to će ti biti jedna jednačina s nepoznatama [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\beta[/inlmath]. Druga jednačina je već data, [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha+\mathrm{tg}\:\beta=2[/inlmath]. Prema tome, imaš sistem od dve jednačine s dve nepoznate, rešiš ga vodeći računa o uslovu da je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha<\mathrm{tg}\:\beta[/inlmath].

elfakd je napisao:II zadatak:
a) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=3[/inlmath]
b) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] ako je [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=−\frac{8}{13}[/inlmath] i [inlmath]\sin\alpha>\cos\alpha[/inlmath]

Molim te da napišeš kako tačno glasi tekst ovog zadatka – tačka 11. Pravilnika.

[inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/inlmath] odatle dobijes kosinus,posle toga ubacis u osnovni trigonometrijski identitet [inlmath]\cos^2x+\sin^2x=1[/inlmath] i imas sve poznato

Mirko Topalovic je napisao:posle toga ubacis u osnovni trigonometrijski identitet [inlmath]\cos^2x+\sin^2x=1[/inlmath]

S tim, da treba voditi računa o tome u kom se kvadrantu nalazi [inlmath]\alpha[/inlmath], zbog predznaka sinusa (a, samim tim, i predznaka tangensa i kotangensa).

@elfakd, ako ti je dat kotangens nekog ugla, pa valjda umeš onda makar da nađeš tangens tog ugla?

Pogledaj i ovu temu – u njoj imaš na jednom mestu sve trigonometrijske identitete – vezu između različitih trigonometrijskih funkcija, kao i ostalo...

Zadatak je:
Naći:
a) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=3[/inlmath]
b) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] ako je [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=−\frac{8}{13}[/inlmath] i [inlmath]\sin\alpha>\cos\alpha[/inlmath]

elfakd je napisao:Naći:
a) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=3[/inlmath]

Ovaj pod a) možeš uraditi i tako što u identitetu [inlmath]\mathrm{tg}\:2\alpha=\frac{2\:\mathrm{tg}\:\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\alpha}[/inlmath] zameniš [inlmath]2\alpha[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] i dobiješ [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{2\:\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}}{1-\mathrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}[/inlmath].
Naravno, i u tom slučaju moraš voditi računa o kvadrantu u kom se nalazi ugao [inlmath]\alpha[/inlmath], radi određivanja predznaka sinusa, odnosno kosinusa.

elfakd je napisao:II zadatak:
a) [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=3[/inlmath]

ovaj sam resio, ali nisam siguran za jedan deo.
[dispmath]\left.\sqrt{1-\cos\alpha}=3\cdot\sqrt{1+\cos\alpha}\quad\right/^2[/dispmath][dispmath]1-\cos\alpha=9+9\cos\alpha[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=-\frac{4}{5}[/dispmath]
Sad nisam siguran gde se [inlmath]\alpha[/inlmath] nalazi. Kosinus je negativan u [inlmath]2,3[/inlmath] kvadrantu, znaci da sinus moze da bude i pozitivan i negativan. Zato sto je [inlmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}[/inlmath] pozitivan, poluugao je u [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath] kvadrantu pretpostavio sam da je sinus pozitivan i dobio [inlmath]\sin\alpha=\frac{3}{5}[/inlmath], [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=-\frac{3}{4}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=-\frac{4}{3}[/inlmath]. To je tacno, ali kako da budem siguran gde je ugao?

U ovom slučaju nije dovoljno samo da uočiš u kom je kvadrantu [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath], već i da uočiš i u kojoj je polovini kog kvadranta.

Konkretno, sa slike


uočavamo da se, s obzirom na vrednost tangensa, [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] može nalaziti ili u intervalu [inlmath]\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] (zeleno označeni ugao), ili u intervalu [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] (žuto označeni ugao).

Ili, objedinjeno,
[dispmath]\frac{\pi}{4}+k\pi\;<\;\frac{\alpha}{2}\;<\;\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]
Sad sve to pomnoži sa [inlmath]2[/inlmath] i dobićeš u kom se intervalu, tj. u kom kvadrantu, nalazi [inlmath]\alpha[/inlmath].

A možeš i na ovaj način, bez posmatranja trigonometrijske kružnice, pa kako ti je lakše.

Kreneš od formule za sinus dvostrukog ugla, [inlmath]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/inlmath], i u toj formuli [inlmath]\alpha[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\overset{\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{\enclose{circle}{\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}}}\cdot\cos^2\frac{\alpha}{2}=\cancel2\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1+\cos\alpha}{\cancel2}[/dispmath]
[inlmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}[/inlmath] ti je zadato, [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] si već izračunao, tako da ti je i jedno i drugo poznato...