MATEMANIJA

Pozdrav.

Imam nedoumicu vezanu za resavanje trigonometrijskih jednacina na zadatom intervalu, pa cu za primer uzeti sledeci zadatak:

Koliko resenja jednacine
[dispmath]\sin x\cos\frac{\pi}{7}+\cos x\sin\frac{\pi}{7}=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] pripada intervalu
[dispmath]\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]?[/dispmath] Lako se po formuli za zbir sinusa dobije
[dispmath]\sin\left(x+\frac{\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] Posle sredjivanja se dobije
[dispmath]x=\frac{4\pi}{21}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath] i
[dispmath]x=-\frac{10\pi}{21}+2l\pi,\;l\in\mathbb{Z}[/dispmath] Sada je potrebno uvrstiti nekoliko celih brojeva u obe jednacine i videti koja pripadaju zadatom intervalu.
Tu nastaje problem, pa bih molio za savet kako da budem siguran da je resenje u zadatom intervalu, jer kao prvo nije mi jasan ovaj interval, on obuhvata citavu trigonometrijsku kruznicu ili kako se to gleda?

Hvala unapred!

Pozdrav, pokusao sam da napravim sliku koja ce malo ti pomoci da uocis gde se interval nalazi na trigonometrijskoj kruznici.


[dispmath]x=\frac{4\pi}{21}+2k\pi\\
k=0\;\Longrightarrow\;x=\frac{4\pi}{21},\;x\in\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right]\\
k=1\;\Longrightarrow\;x=\frac{46\pi}{21},\;x\notin\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right]\\
k=-1\;\Longrightarrow\;x=-\frac{38\pi}{21},\;x\notin\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right][/dispmath][dispmath]x=-\frac{10\pi}{21}+2l\pi\\
l=0\;\Longrightarrow\;x=-\frac{10\pi}{21},\;x\in\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right]\\
l=1\;\Longrightarrow\;x=\frac{32\pi}{21},\;x\notin\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right]\\
l=-1\;\Longrightarrow\;x=-\frac{52\pi}{21},\;x\notin\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right][/dispmath] Ukupno ima [inlmath]2[/inlmath] resenja koja pripadaju zadatom intervalu.

Nadam se da mozes da razumes o cemu se radi, naravno [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath] su celi brojevi.

Hvala puno! Ako sam dobro razumeo, s' obzirom da zadati interval obuhvata citav krug, znaci da su resenja koja su u tom intervalu zapravo resenja intervala [inlmath]2\pi[/inlmath], pa sve preko toga otpada?

Da, duzina intervala je [inlmath]2\pi[/inlmath] al to ne znaci da se moze poistovetiti [inlmath]\displaystyle\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right]\ne\left[0,2\pi\right][/inlmath]

Herien Wolfov postupak je tačan ako bismo krenuli od pretpostavke da su rešenja date jednačine [inlmath]x=\frac{4\pi}{21}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=-\frac{10\pi}{21}+2l\pi[/inlmath], kao što je Korisnik1234 napisao.
Međutim, ovo drugo rešenje ne valja – umesto [inlmath]x=-\frac{10\pi}{21}+2l\pi[/inlmath] treba da bude [inlmath]x=\frac{11\pi}{21}+2l\pi[/inlmath]. Tada se dobije [inlmath]l=-1[/inlmath]. (Drugo rešenje se može napisati i kao [inlmath]x=-\frac{31\pi}{21}+2l\pi[/inlmath], pri čemu bi se dobilo [inlmath]l=0[/inlmath].)

---

Pokazao bih i drugi način koji bi bio zgodniji ako bi se dobilo više rešenja po [inlmath]k[/inlmath] odnosno po [inlmath]l[/inlmath], jer tada ne bi bilo potrebno da sva ta rešenja uvrštavamo umesto [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath], dok ne „nabodemo“ granice.

Pošto smo dobili ova dva rešenja u kojima figurišu [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath], za svako od ta dva rešenja postavljamo nejednačinu kao uslov pripadnosti intervalu [inlmath]\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath]. Prvo to uradimo za prvo rešenje:
[dispmath]-\frac{3\pi}{2}\le\frac{4\pi}{21}+2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-\frac{3\cancel\pi}{2}\le\frac{4\cancel\pi+42k\cancel\pi}{21}\le\frac{\cancel\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-\frac{3}{2}\le\frac{4+42k}{21}\le\frac{1}{2}[/dispmath] Pomnožimo sva tri izraza NZS-om imenilaca, a to je [inlmath]42[/inlmath]:
[dispmath]-63\le8+84k\le21[/dispmath] Oduzmemo [inlmath]8[/inlmath] od sva tri izraza:
[dispmath]-71\le84k\le13[/dispmath] Na kraju sva tri izraza podelimo sa [inlmath]84[/inlmath],
[dispmath]-\frac{71}{84}\le k\le\frac{13}{84}[/dispmath] Pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, zaključujemo da mora biti [inlmath]k=0[/inlmath], tj. [inlmath]k[/inlmath] može imati samo jednu vrednost.

Sad isto to i za drugo rešenje.

Daniel je napisao:Međutim, ovo drugo rešenje ne valja – umesto [inlmath]x=-\frac{\pi}{21}+2l\pi[/inlmath] treba da bude [inlmath]x=\frac{11\pi}{21}+2l\pi[/inlmath].

Tacno, moja greska. Izvinjavam se.

Korisnik1234 je napisao:[dispmath]x=\frac{4\pi}{21}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath] i
[dispmath]x=-\frac{10\pi}{21}+2l\pi,\;l\in\mathbb{Z}[/dispmath]

Zasto su uvedena dva celobrojna umnozka, [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath], kada su ova dva resenja medjusobno nezavisna?

Zato što posmatramo rešenja na zadatom intervalu, pa je potrebno odrediti vrednosti posebno za [inlmath]k[/inlmath] a posebno za [inlmath]l[/inlmath], koja će „upasti“ u dati interval.