MATEMANIJA

[dispmath]\sin^2 2x+\sin^2 5x=1[/dispmath]

Na ove kvadrate primeniš forumulu za polovinu ugla:[dispmath]\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos 2x}{2}[/dispmath]Posle sređivanja i kraćenja, dobićeš kao međurezultat[dispmath]\cos 4x+\cos 10x=0[/dispmath]i zatim na to primeniš transformaciju trigonometrijskog zbira u proizvod, prema formuli[dispmath]\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}[/dispmath]Dobićeš da je proizvod dva kosinusa jednak nuli, što znači da je neki od ta dva kosinusa sigurno jednak nuli. Slučaj da je prvi od ta dva kosinusa jednak nuli daće rešenja[dispmath]x=\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7},\quad k\in\mathbb{N}[/dispmath]a slučaj da je drugi od ta dva kosinusa jednak nuli daće rešenja[dispmath]x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{N}[/dispmath]Konačan skup rešenja ove jednačine dobijamo kao uniju ova dva skupa rešenja:[dispmath]x\in\left\{\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7}\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right\},\quad k\in\mathbb{N}[/dispmath]

1. [inlmath]\cos x=\cos 3x[/inlmath]
2. Jednacina [inlmath]x=4\pi\sin x[/inlmath] ima koliko resenja?

smAshh je napisao:1. [inlmath]\cos x=\cos 3x[/inlmath]

Prebaci [inlmath]\cos x[/inlmath] na desnu stranu i dobićeš razliku kosinusa, transformiši je u proizvod pomoću one formule za transformaciju,[dispmath]\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath]Pošto ceo taj proizvod mora biti jednak nuli, tražiš kada je bilo koji od njegovih činilaca jednak nuli, pa na kraju nađeš uniju tih rešenja.
Međurezultat bi bio[dispmath]\sin x=0\quad\lor\quad\sin 2x=0[/dispmath]a konačno rešenje[dispmath]x=\frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]

smAshh je napisao:2. Jednacina [inlmath]x=4\pi\sin x[/inlmath] ima koliko resenja?

Ovu jednačinu nije moguće rešiti analitičkim putem, ali grafičkim putem možemo odrediti broj mogućih rešenja. Formiramo dve funkcije od [inlmath]x[/inlmath], jednu koja je jednaka levoj strani jednačine, [inlmath]y_1=x[/inlmath], i drugu, koja je jednaka desnoj strani jednačine, [inlmath]y_2=4\pi\sin x[/inlmath]. Vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje će biti zadovoljeno [inlmath]y_1=y_2[/inlmath] predstavljaju rešenja ove jednačine, a na grafiku će to biti presečne tačke ovih dveju funkcija:


Ostaje ti samo da izbrojiš presečne tačke.

Logično je, takođe, da rešenja ima smisla tražiti samo kada je [inlmath]x[/inlmath] unutar intervala [inlmath]\left[-4\pi,4\pi\right][/inlmath], jer van tog opsega, kada je [inlmath]\left|x\right|>4\pi[/inlmath], jednačina sigurno nema rešenja, budući da desna strana jednačine, [inlmath]4\pi\sin x[/inlmath], može po modulu biti isključivo manja ili jednaka od [inlmath]4\pi[/inlmath].

[dispmath]2\sin^4x-2\cos^4x-1=0[/dispmath]
Dobijam da je [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{2}[/inlmath]

i resenja su mi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+k\pi[/inlmath]

A u resenjima stoji da je drugo resenje [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath]
Gde sam pogresio?

Nigde nisi pogrešio.

[inlmath]\frac{2\pi}{3}+k\pi[/inlmath] isto je što i [inlmath]-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath], zar ne?

da, hvala... A ovaj [dispmath]1-\sin 2x=\cos x-\sin x[/dispmath] za [dispmath][0,2\pi][/dispmath] dodjem do dela [dispmath](\sin x-\cos x)^2=\cos x-\sin x[/dispmath]

Iz [dispmath](\sin x-\cos x)^2=\cos x-\sin x[/dispmath]
[dispmath](\sin x-\cos x)+\sin x-\cos x=0[/dispmath]
[inlmath](\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+1)=0[/inlmath]
Otuda je ili [dispmath]\sin x=\cos x[/dispmath] tj. [dispmath]\mathrm{tg}\:x=1[/dispmath] ili [inlmath]\sin x-\cos x=-1[/inlmath]
Uputstvo za drugu jedanačinu: podeli je sa [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath] i seti se formule za sinus razlike...

[dispmath](\sin x-\cos x)+\sin x-\cos x=0[/dispmath]
[inlmath](\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+1)=0[/inlmath]

Ne razumem ovo?

Kod zagrade treba da stoji kvadrat.

E, kad imaš kvadrat kod zagrade, onda izraz posmatraš kao[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x-\cos x\right)+1\cdot\left(\sin x-\cos x\right)=0[/dispmath]pa [inlmath]\left(\sin x-\cos x\right)[/inlmath], kao zajednički faktor, izvučeš ispred:[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left[\left(\sin x-\cos x\right)+1\right]=0[/dispmath]tj.[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x-\cos x+1\right)=0[/dispmath]Mislim da postupnije od ovoga ne može...