MATEMANIJA

Ako je [inlmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath] i [inlmath]\sin x+\cos x>0[/inlmath], onda je vrednost izraza [inlmath]\sin2x+\cos2x[/inlmath] jednaka:

[inlmath]\displaystyle1)\;\frac{7}{5}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle2)\;\frac{1}{5}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle3)\;\frac{7}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle4)\;\frac{5}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle5)\;\frac{3}{2}[/inlmath]
[dispmath]\sin2x+\cos2x=2\sin x\cos x+\cos^2x-\sin^2x[/dispmath] Kvadriranjem [inlmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath] dobijam:
[dispmath]\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{5}\\
2\sin x\cos x=\frac{4}{5}\\
\sin x\cos x=\frac{2}{5}\\
\sin2x+\cos2x=2\cdot\frac{2}{5}+\cos^2x-\sin^2x\\
\sin2x+\cos2x=2\cdot\frac{2}{5}+1-2\sin^2x\\
\sin2x+\cos2x=\frac{9}{5}-2\sin^2x[/dispmath] Dalje nemam ideju šta bih mogla da uradim da bih dobila vrednost izraza.. Treba verovatno da se iskoristi i da je [inlmath]\sin x+\cos x>0[/inlmath]

[dispmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x+\sin x\right)[/dispmath] Samo još trebaš da izračunaš vrednost izraza u poslednjoj zagradi.
Upravo ćeš tu iskoristiti onaj uslov.

Kako da izračunam [inlmath]\cos x+\sin x[/inlmath] ?

[dispmath]\left(\cos x+\sin x\right)^2=1+\sin2x[/dispmath]

MartinaJuric je napisao:Kvadriranjem [inlmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath] dobijam:
[dispmath]\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{5}\\
2\sin x\cos x=\frac{4}{5}[/dispmath]

Ne znam što si dalje razlagala ovaj izraz. Odavde se dobija:
[dispmath]\sin2x=\frac{4}{5}\\
1-\sin^22x=\cos^22x\quad\Longrightarrow\quad\cos2x=\pm\frac{3}{5}[/dispmath] Iz razloga koji je bobanex naveo biramo negativno rešenje. Ostaje samo da uvrstimo u traženi izraz.

Priložiću još jedan način na koji možemo uraditi zadatak s početka teme. Nije nešto elegantan, al' može da posluži ako nam ne padne na pamet ni jedan drugi način.
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt5}\\
\sin^2x+\cos^2x=1\\
\sin x+\cos x>0
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\sin x=\frac{2\sqrt5}{5}\\
\sin2x+\cos2x=2\sin x\cos x-2\sin^2x+1=-2\sin x(\sin x-\cos x)+1\\
\vdots\\
=\enclose{box}{\frac{1}{5}}[/dispmath]