MATEMANIJA

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\sin x+\sin2x+1=\cos x+2\cos^2x[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath](-\pi,\pi)[/inlmath] jednak je:
20. zadatak

I ovaj zadatak sam pokusala da resim ali ne znam sta dalje da radim evo dokle sam ja stigla
[dispmath]\sin x+\sin2x+1=\cos x+2\cos^2x,\quad x\in(-\pi,\pi)\\
\sin x+\sin2x=\cos x+\cos2x[/dispmath] Dobijam na kraju da je
[dispmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)[/dispmath] Nemam ideju sta dalje da radim...

Nađa je napisao:[dispmath]\sin x+\sin2x=\cos x+\cos2x[/dispmath]

Sada, primeniš i sa leve i sa desne strane formulu za pretvaranje zbira u proizvod. Zatim sve prebaciš na levu stranu, a sa desne ostaje [inlmath]0[/inlmath]. Leva strana tada postaje: [inlmath]\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\sin\frac{3x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)[/inlmath], i imamo:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\sin\frac{3x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)=0[/dispmath] Dalje nije problem... Nadam se da sam pomogao

Jesi hvala ti

A možeš, takođe, i kad si došla do koraka [inlmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)={\color{red}\sin}\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)[/inlmath] (ne [inlmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)={\color{red}\cos}\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)[/inlmath] kako si ti napisala) da iskoristiš osobinu (nacrtaj ili zamisli trigonometrijsku kružnicu) da iz [inlmath]\sin\alpha=\sin\beta[/inlmath] sledi [inlmath]\alpha=\beta+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\alpha=\pi-\beta+2k\pi[/inlmath]. Znači, imamo
[dispmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\\
\Downarrow\\
x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-2x+2k\pi\quad\lor\quad x-\frac{\pi}{4}=\pi-\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+2k\pi\\
\vdots[/dispmath]

Nađa je napisao:Dobijam na kraju da je
[dispmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)[/dispmath]

Izvinite ali ja moram da pitam jer meni stvarno nije jasno - kako je dobijeno ovo?

Napisao sam u postu iznad da je pogrešila – umesto kosinusa treba sinus.

Da, video sam da si ispravio u postu pre mog, ali me zanima kako je došla do tog rezultata, jer ja sam ovaj zadatak rešio isto kao i Igor, i dobio dobro rešenje, ali sam video da ima link pa rek'o da pogledam da nije neki drugačiji način priložen, pa ako ti nije teško stvarno me zanima kako se dolazi do toga, jer sam pokušavao ali bezuspešno...

Aha, mislio sam da te buni kosinus... OK, nesporazum...
Pogledaj ovaj postupak, pa ako ti nešto ostane nejasno, slobodno pitaj.

U pitanju je zadatak 20 sa prijemnog za FON 2017. godine.

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\sin x+\sin2x+1=\cos x+2\cos^2x[/inlmath] u intervalu [inlmath](-\pi,\pi)[/inlmath] je [inlmath]\displaystyle\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Ja sam u resavanju dosao do ovog dela [inlmath]\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\sin\frac{3x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)=0[/inlmath].

Ali ne znam sta da radim sa ovim delom u zagradi. Dobijam neka cudna resenja koja nemaju smisla.

Hvala unapred!

Hint:
[dispmath]\sin\frac{3x}{2}-\cos\frac{3x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3x}{2}=\cos\frac{3x}{2}\quad\Big/:\cos\frac{3x}{2}[/dispmath][dispmath]\text{tg }\frac{3x}{2}=1[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath] Naravno moraš da postaviš uslov: [inlmath]\cos\frac{3x}{2}\neq0[/inlmath]