MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
12. zadatak

Ukupan broj realnih resenja jednacine [inlmath]\sin3|x|+\sqrt3\cos3x=\sqrt2[/inlmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right][/inlmath] jednak je:
[inlmath]A)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;6[/inlmath]

Zadatak sam resila u dva slucaja
[inlmath]I[/inlmath] slucaj (kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath]) jednacina glasi:
[dispmath]\sin3x+\sqrt3\cos3x=\sqrt2\\
\frac{1}{2}\sin3x+\frac{\sqrt3}{2}\cos3x=\frac{\sqrt2}{2}\\
\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\\
3x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad3x+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
x_1=-\frac{\pi}{36},\quad x_2=\frac{23\pi}{36}[/dispmath] [inlmath]II[/inlmath] slucaj ([inlmath]x<0[/inlmath])
[dispmath]-\sin3x+\sqrt3\cos3x=\sqrt2\\
\frac{1}{2}\sin3x-\frac{\sqrt3}{2}\cos3x=-\frac{\sqrt2}{2}\\
\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\\
3x-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad3x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\\
x_3=\frac{25\pi}{36},\quad x_4=\frac{19\pi}{36}[/dispmath] Tako da na kraju u skladu sa intervalom imamo cetiri resenja [inlmath]x\in\left(-\frac{\pi}{36},\frac{23\pi}{36},\frac{19\pi}{36},\frac{25\pi}{36}\right)[/inlmath] odnosno odgovor je pod [inlmath]\enclose{box}{C}[/inlmath]

Ne valjaju rešenja.

Nađa je napisao:[inlmath]I[/inlmath] slucaj (kada je [inlmath]\color{red}x\ge0[/inlmath]) jednacina glasi:
[dispmath]\vdots\\
3x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad3x+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
{\color{red}x_1=-\frac{\pi}{36}},\quad x_2=\frac{23\pi}{36}[/dispmath]

Zar nisi postavila uslov da je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno? Kako onda dobiješ negativno rešenje?

Analogno i za drugi slučaj, u kojem si postavila uslov da je [inlmath]x[/inlmath] negativno, a dobila pozitivna rešenja.

Jao da, pogresila sam izvinjavam se...zurila sam.
U prvom slucaju imamo tri resenja [inlmath]x_1=\frac{5\pi}{36},\;x_2=\frac{29\pi}{36}[/inlmath]
A u drugom slucaju samo jedno [inlmath]x_4=-\frac{5\pi}{36}[/inlmath]

Nađa je napisao:U prvom slucaju imamo tri resenja [inlmath]x_1=\frac{5\pi}{36},\;x_2=\frac{29\pi}{36}[/inlmath]

Ja ovde vidim napisana dva rešenja...

Radi onih koji će ubuduće gledati ovu temu radi pripreme za prijemni – u [inlmath]I[/inlmath] slučaju ([inlmath]x\ge0[/inlmath]) sve je ispravno do koraka
[dispmath]3x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad3x+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi[/dispmath] Odatle sledi
[dispmath]x=-\frac{\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}[/dispmath] Za skup rešenja [inlmath]x=-\frac{\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] imaćemo rešenja u intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath] samo za [inlmath]k=1[/inlmath] i to će biti rešenje [inlmath]x_1=\frac{23\pi}{36}[/inlmath], dok ćemo za skup rešenja [inlmath]x=\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] imati rešenja u intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath] za [inlmath]k=0[/inlmath] i za [inlmath]k=1[/inlmath], i to će biti rešenja [inlmath]x_2=\frac{5\pi}{36}[/inlmath] i [inlmath]x_3=\frac{29\pi}{36}[/inlmath].

U [inlmath]II[/inlmath] slučaju ([inlmath]x<0[/inlmath]) sve je ispravno do koraka
[dispmath]3x-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad3x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/dispmath] Odatle sledi
[dispmath]x=\frac{25\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\quad\lor\quad x=\frac{19\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}[/dispmath] Za skup rešenja [inlmath]x=\frac{25\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] nećemo ni za jednu vrednost [inlmath]k[/inlmath] imati rešenje u intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},0\Bigl][/inlmath], dok ćemo za skup rešenja [inlmath]x=\frac{19\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] imati rešenja u intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},0\Bigl][/inlmath] samo za [inlmath]k=-1[/inlmath], i to će biti rešenje [inlmath]x_4=-\frac{5\pi}{36}[/inlmath].

Prema tome, ukupno imamo četiri rešenja: [inlmath]x\in\left\{-\frac{5\pi}{36},\frac{5\pi}{36},\frac{23\pi}{36},\frac{29\pi}{36}\right\}[/inlmath] (@Nađa, za predstavljanje skupova kao u ovom primeru koriste se vitičaste, a ne oble zagrade).

---

Nije čak ni potrebno posebno raditi za slučaj [inlmath]x<0[/inlmath] ako se uoči da izraz na levoj strani date jednačine, [inlmath]\sin3|x|+\sqrt3\cos3x[/inlmath], predstavlja parnu funkciju. Samim tim je jasno da sva ona rešenja koja se nalaze u intervalu [inlmath]\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigl][/inlmath] moraju imati svoje parnjake (s negativnim predznakom) u intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},0\Bigl][/inlmath].
Od pozitivnih rešenja jedino se [inlmath]\frac{5\pi}{36}[/inlmath] nalazi u intervalu [inlmath]\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigl][/inlmath], tako da jedino to rešenje ima svog parnjaka, [inlmath]-\frac{5\pi}{36}[/inlmath], u intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},0\Bigl][/inlmath].

Racunala sam u tri resenja i ono u prvom postu koje mi je tacno... [inlmath]\frac{23\pi}{36}[/inlmath]
Hvala na ispravci

A kako znamo da za [inlmath]k=3,4,n[/inlmath] nemamo resenja?

Molim te da počneš da koristiš LaTex. U ovom slučaju samo je trebalo da klikneš na InlineMath i da otkucaš isto ono što si otkucao.

Što se tiče odgovora na tvoje pitanje, obrati pažnju na interval koji je zadat. Za [inlmath]k=3[/inlmath], rešenje bi bilo izvan intervala.