MATEMANIJA

Bavio sam se trigonometrijom ovih dana, i prešao sam možda oko stotinak zadataka i imam nekoliko koje nikako ne mogu da rešim, pa možda postujem još neki u potrazi za pomoći.

Ovo je zadatak sa ETF roka 2004. godine, inače zadatak broj 6. Sam zadatak glasi:

Neka su [inlmath]\alpha,\beta,\gamma[/inlmath] uglovi a [inlmath]a,b,c[/inlmath] odgovarajuće stranice trougla. Tada je [inlmath]a\sin(\beta-\gamma)+b\sin(\gamma-\alpha)+c\sin(\alpha-\beta)[/inlmath] jednako:

Rešenje ovog zadatka je [inlmath]0[/inlmath].
Moja neka generalna ideja za rešavanje ovog zadatka bila je da svaki od ovih navedenih uglova razdvojim pomoću adicionih formula, tako da bi zadatak glasio:
[dispmath]a(\sin\beta\cos\gamma-\sin\gamma\cos\beta)+b(\sin\gamma\cos\alpha-\sin\alpha\cos\gamma)+c(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)[/dispmath] Samo je sledeći problem što ja nemam apsolutno nikakvu ideju šta sa ovim dalje da radim, ili kako drugačije bih uopšte mogao da počnem. Tako da, svaka smernica ili sama pomoć oko rešenja bi dobrodošla.

Koristi sinusnu teoremu da izraziš dužine stranica.

Imas u ovoj temi slicnih zadataka, pa mozes i to pogledati.

Ovo si dobro uradio:
[dispmath]a(\sin\beta\cos\gamma-\sin\gamma\cos\beta)+b(\sin\gamma\cos\alpha-\sin\alpha\cos\gamma)+c(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)[/dispmath] Sad iz sinusne teoreme izrazis stranice:
[dispmath]a=2R\sin\alpha\\
b=2R\sin\beta\\
c=2R\sin\gamma[/dispmath] Kada se sad uvrste ovi izrazi umjesto stranica pokrati se sve i dobije se [inlmath]0[/inlmath].

Ako nekome znaci moze i logicki da se odradi, sobzirom da mora da vazi pravilo za bilo koji trougao, mora vaziti i za jednakostranicni i ubacivanjem [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] za sve uglove lako dolazimo do [inlmath]0[/inlmath]. Ali potrebno je proveriti medju nekonstantnim resenjima da li neko od njih rezultuje u nuli, sto za ponudjena resenja pod A) i B) nije slucaj.