MATEMANIJA

Zbir svih resenja jednacine [inlmath]6\sin x+6\cos 2x=\sin 2x\cos x+6\cos^2x[/inlmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{3\pi}{2},\pi\right][/inlmath] je:

[dispmath]6\sin x+6\cos 2x=\sin 2x\cos x+6\cos^2x[/dispmath]
[dispmath]6\sin x+6\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=(2\sin x\cos x)\cos x+6\cos^2x[/dispmath]
[dispmath]6\sin x+{\cancel{6\cos^2x}}-6\sin^2x=2\sin x\cos^2x+{\cancel{6\cos^2x}}[/dispmath]
[dispmath]6\sin x-6\sin^2x-2\sin x\cos^2x=0[/dispmath]
[dispmath]2\sin x\left(3-3\sin x-\cos^2x\right)=0[/dispmath]
[dispmath]2\sin x=0\hspace{4cm}3-3\sin x-\cos^2x=0[/dispmath]
[dispmath]\sin x=0\hspace{4cm}3-3\sin x-1+\sin^2x=0[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi\hspace{4cm}2-3\sin x+\sin^2x=0[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi\hspace{4cm}\mbox{smena}\qquad\quad\sin x=t[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi\hspace{4cm}t^2-3t+2=0[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi\hspace{4cm}t_1=2\qquad\quad t_2=1[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi\hspace{4cm}{\cancel{\sin x=2}}\qquad\qquad\sin x=1[/dispmath]
[dispmath]x=k\pi\hspace{4cm}x=\frac{\pi}{2}\qquad x=-\frac{3\pi}{2}[/dispmath]
Zbir resenja:
[dispmath]-\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\cancel{\left(-\pi\right)}+0+\cancel{\pi}=-\pi[/dispmath]
Samo da naglasim da kod prvog resenje [inlmath]\quad k\in[-1,1][/inlmath]
zbog uslova sa pocetka zadatka.

Nadam se da nisam negde pogresio posto sam zurio, provericu veceras kada dodjem.
Ispravljena greska u zadatku uz veliko izvinjenje i zahvalnost adminu na ukazanoj gresci

Hvala na pomoci!

Najveci problem mi je pravio interval, ali uspela sam da ukapiram!

Jedino mi ovaj deo nije jasan, da li to moze tako?

forzajuve je napisao:[dispmath]\sin x(−3+\sin x)=−2[/dispmath]
[dispmath]\sin x=−2\qquad −3+\sin x=−2[/dispmath]

Inace i ja sam dobila resenja :
[inlmath]2\sin x=0,\;\sin x=1,\;\sin x=2[/inlmath]

Ranije sam se i ja susreo sa ovim zadatkom, secam se da mi je pravio problem.
Zadatak mi je jasan sve do ovog dela, ne razumem kako su i jedan i drugi cinilac jednaki [inlmath]-2[/inlmath] ,

forzajuve je napisao:[dispmath]\sin x(-3+\sin x)=-2[/dispmath]
[dispmath]\sin x=-2\quad -3+\sin x=-2[/dispmath]
[dispmath]{\cancel{\sin x=-2}}\qquad\qquad\sin x=1[/dispmath]
[dispmath]{\cancel{x=k\pi}}\quad{\cancel{\sin x=-2}}\qquad\qquad x=\frac{\pi}{2}\qquad x=-\frac{3\pi}{2}[/dispmath]

To bi znacilo da je njihov proizvod ustvari [inlmath]4[/inlmath], ili je u pitanju neka fora koju ja ne uspevam da vidim?
Mozes li samo taj deo zadatka da mi objasnis.

U jednom zadatku sam dobila jedno od resenja [inlmath]\sin x=\frac{1}{4}[/inlmath],
da li postoji neko "normalno" resenje po [inlmath]x[/inlmath], ili ja nisam nesto dobro uradila?
Ako moze neko da mi odgovori!

Ups, obrisah post slucajno.
Kao sto rekoh, ja sam uspeo da dobijem, da mi je zbir svih resenja jednak nuli, ako imas resenje proveri da li je tacno pa cu napisati kako sam dobio taj rezultat.
Inace ja dobijam [inlmath]\sin x=0[/inlmath] i [inlmath]\sin x=1[/inlmath]

Bila je greska sa moje strane - sad je ispravljena - kako god, zbir resenja je isti.

Daaa, ja sam prevideo ovo [inlmath]-\pi[/inlmath] kod [inlmath]\sin x=0[/inlmath], nisam ga uvrstio kad sam sabirao resenja, ali to je to. Hvala

Ma, ja sve mislim da je Forza namerno napravio grešku da bi proverio koliko pazite na času... Dobro je, očigledno je da pazite... NIste se dali zbuniti. Svaka čast.

ivzo je napisao:U jednom zadatku sam dobila jedno od resenja [inlmath]\sin x=\frac{1}{4}[/inlmath],
da li postoji neko "normalno" resenje po [inlmath]x[/inlmath], ili ja nisam nesto dobro uradila?
Ako moze neko da mi odgovori!

Mislim da iz [inlmath]\sin x=\frac{1}{4}[/inlmath] ne može ništa „pametno“ da se dobije po [inlmath]x[/inlmath], osim da se napiše [inlmath]x=\arcsin\frac{1}{4}[/inlmath].
A da li si sve dobro uradila, to niko od nas nije dovoljno vidovit da ti na to pitanje odgovori bez znanja kako glasi tekst tog zadatka.

Onda sam sigurno pogresila!

Zadatak je:

[inlmath]\sin 2x+\sin^4\frac{x}{2}=\cos^4\frac{x}{2}[/inlmath]

A trazi se zbir najveceg negativnog i najmanjeg pozitivnog resenja.

Ja sam dobila [inlmath]\cos x=0[/inlmath] i [inlmath]\sin x=\frac{1}{4}[/inlmath]

ivzo je napisao:[inlmath]\sin 2x+\sin^4\frac{x}{2}=\cos^4\frac{x}{2}[/inlmath]

A trazi se zbir najveceg negativnog i najmanjeg pozitivnog resenja.

Ja sam dobila [inlmath]\cos x=0[/inlmath] i [inlmath]\sin x=\frac{1}{4}[/inlmath]

[dispmath]\sin 2x+\sin^4\frac{x}{2}=\cos^4\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^2-\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)^2[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\frac{1+2\cos x+\cos^2 x}{4}-\frac{1-2\cos x+\cos^2 x}{4}[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\frac{\cancel 1+2\cos x+\cancel{\cos^2 x}-\cancel 1+2\cos x-\cancel{\cos^2 x}}{4}[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\frac{\cancel 4\cos x}{\cancel 4}[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x-\cos x=0[/dispmath][dispmath]\cos x\left(2\sin x-1\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos x=0\quad\vee\quad 2\sin x-1=0[/dispmath][dispmath]\cos x=0\quad\vee\quad \sin x=\frac{1}{\color{red}2}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]