MATEMANIJA

Najveca vrednost funkcije je ? [inlmath]x[/inlmath] pripada [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]
[dispmath]F(x)=\sin^2x-4\sin x+5[/dispmath]

Uvedemo smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath] i, pošto je [inlmath]-1\le\sin x\le 1[/inlmath], tada i za [inlmath]t[/inlmath] postavljamo uslov [inlmath]-1\le t\le 1[/inlmath] i na tom intervalu tražimo maksimalnu vrednost funkcije [inlmath]G\left(t\right)=t^2-4t+5[/inlmath].
Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, teme ove funkcije će predstavljati minimum, što znači da maksimum funkcije jedino ima smisla tražiti na nekoj od granica zadatog intervala:
[dispmath]G\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-4\left(-1\right)+5=10[/dispmath][dispmath]G\left(1\right)=1^2-4\cdot 1+5=2[/dispmath]
Prema tome, najveća vrednost zadate funkcije je [inlmath]10[/inlmath].

Jel mozes da mi objasnis kako ide ako mi se trazi sad minimum...Imam slican zadatak samo je [inlmath]x^2-6x+16[/inlmath] i trazi mi se minimum funkcije...I ako mozes da mi objasnis kako bi islo da je uz [inlmath]x^2[/inlmath] minus pa da je parabola okrenuta na dole. Hvala

Kod funkcije [inlmath]x^2-6x+16[/inlmath] je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, tako da njeno teme predstavlja njen minimum. Ako teme pripada intervalu unutar koga se traži minimum (ili ako interval uopšte nije ni zadat), onda nađemo koordinate temena i time smo našli minimum. Ako je, pak, teme izvan zadatog intervala, onda, kao i u prethodnom zadatku, tražimo vrednost funkcije na granicama tog intervala, odaberemo onu vrednost koja je manja i ona predstavlja traženi minimum na tom intervalu.

Da je koeficijent uz kvadratni član negativan, teme bi bilo okrenuto nagore, tj. predstavljalo bi maksimum. Tada minimum nije moguće odrediti ako interval nije zadat, jer funkcija nije ograničena s donje strane, tj. kraci parabole idu prema dole, u [inlmath]-\infty[/inlmath]. Ako je interval zadat, isto radimo kao i ranije – odredimo vrednosti funkcije na granicama intervala i odaberemo onu vrednost koja je manja – to će biti minimum funkcije na tom intervalu.

nisam razumeo bas,kad mi se trazi minimum,jel trazim mesto gde se ostvaruje minimum(koordinata [inlmath]x[/inlmath] temena, [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath]) ili vrednost (koordinata [inlmath]y[/inlmath] temena, [inlmath]-\frac{D}{4a}[/inlmath]) ? posto u ovom zadatku ja sam pokusao da izracunam [inlmath]-\frac{D}{4a}[/inlmath] ali mi je [inlmath]D[/inlmath] negativno, kako onda da odredim da li teme spada u zadati interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] ili ne?

shimi je napisao:nisam razumeo bas,kad mi se trazi minimum,jel trazim mesto gde se ostvaruje minimum(koordinata [inlmath]x[/inlmath] temena, [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath]) ili vrednost (koordinata [inlmath]y[/inlmath] temena, [inlmath]-\frac{D}{4a}[/inlmath]) ?

To treba da bude precizno definisano u tekstu zadatka, da li se traži [inlmath]x[/inlmath]-koordinata minimuma, ili sama vrednost funkcije u tački minimuma. A ako nije precizno rečeno, onda ti je najsigurnije da nađeš i jedno i drugo, pa to prikažeš kao uređeni par [inlmath]\left(x_M,y_M\right)[/inlmath], gde je [inlmath]x_M[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath]- koordinata minimuma, a [inlmath]y_M[/inlmath] [inlmath]y[/inlmath]- koordinata minimuma, tj. vrednost funkcije u tom minimumu.

shimi je napisao:posto u ovom zadatku ja sam pokusao da izracunam [inlmath]-\frac{D}{4a}[/inlmath] ali mi je [inlmath]D[/inlmath] negativno, kako onda da odredim da li teme spada u zadati interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] ili ne?

Nema ti veze kod izračunavanja minimuma da li je [inlmath]D[/inlmath] pozitivno ili negativno, ako je i negativno, onda uvrstiš tu negativnu vrednost i izračunaš... a određivanje da li teme spada u zadati interval vršiš isključivo pomoću vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-koordinate temena, tj. preko formule [inlmath]x_M=-\frac{b}{2a}[/inlmath]...

Daniel je napisao:To treba da bude precizno definisano u tekstu zadatka, da li se traži [inlmath]x[/inlmath]-koordinata minimuma, ili sama vrednost funkcije u tački minimuma. A ako nije precizno rečeno, onda ti je najsigurnije da nađeš i jedno i drugo, pa to prikažeš kao uređeni par [inlmath]\left(x_M,y_M\right)[/inlmath], gde je [inlmath]x_M[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath]- koordinata minimuma, a [inlmath]y_M[/inlmath] [inlmath]y[/inlmath]- koordinata minimuma, tj. vrednost funkcije u tom minimumu.

Ovo je i mene zbunjivalo, znaci [inlmath]y[/inlmath] koordinata je ustvari minimum u ovom slucaju, a da je bio negativan koeficijent prvog clana, [inlmath]y[/inlmath] koordinata bi bila maksimum(ili vrednost neke funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u tom maksimumu), jel da?

Da. [inlmath]y[/inlmath]-koordinata predstavlja vrednost funkcije, jer se [inlmath]y[/inlmath] posmatra kao zavisna promenljiva, koja zavisi od [inlmath]x[/inlmath], tj. koja predstavlja funkciju od nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath].

Što se tiče maksimuma/minimuma kod kvadratne funkcije, ako je posmatramo na celom skupu realnih brojeva, (tj. ako nismo posmatranje ograničili na neki interval promenljive [inlmath]x[/inlmath]) tada, nesumnjivo, funkcija ima minimum u temenu onda kada joj je koeficijent uz kvadratni član pozitivan i obrnuto – kad je koeficijent uz kvadratni član negativan, tada funkcija u temenu ima maksimum. (Ilustracije radi, ovde je prikazana animacija promene oblika kvadratne funkcije s promenom koeficijenta uz kvadratni član.

Međutim, kad kvadranu funkciju posmatramo na nekom intervalu promenljive [inlmath]x[/inlmath], a teme joj se ne nalazi unutar tog intervala, to znači da taj interval obuhvata samo deo njenog kraka, pa je ona na tom intervalu monotona (rastuća ili opadajuća), što znači da joj se tada njena maksimalna/minimalna vrednost na tom intervalu nalazi na nekoj od dve granice tog intervala.
Ukoliko se teme nalazi unutar tog intervala, priča je ista kao i u prethodnom pasusu.