MATEMANIJA

Pozz
prije zadatka imam podpitanje iz jednog drugog.... dakle kako od [inlmath]\cos x-2\sin x=0[/inlmath] dobiti [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{1}{2}[/inlmath]

A zadatak kaže: Na intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath] nacrtajte graf funkcije [dispmath]f(x)=4\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)[/dispmath]

Pozz
prije zadatka imam podpitanje iz jednog drugog.... dakle kako od [inlmath]\cos x-2\sin x=0[/inlmath] dobiti [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{1}{2}[/inlmath]

Evo odgovor za podpitanje:

[dispmath]\cos x-2\sin x=0[/dispmath]
[inlmath]2\sin x[/inlmath] prebacimo na desnu stranu i dobijemo:
[dispmath]\cos x=2\sin x[/dispmath]
Podelimo sve sa [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cos x}{\cos x}=2\cdot\frac{\sin x}{\cos x}[/dispmath]
Sa leve strane imamo:
[dispmath]\frac{\cos x}{\cos x}=1[/dispmath]
A sa desne:
[dispmath]2\cdot\frac{\sin x}{\cos x}[/dispmath]
Kako je (po formuli):
[dispmath]\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\:x[/dispmath]
Sa desne strane cemo imati
[inlmath]2\mathrm{tg}\:x[/inlmath]

Znaci ostaje nam ova jednacina:
[dispmath]1=2\cdot\mathrm{tg}\:x[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{1}{2}[/dispmath]

Au, PocetnikSRB, alal vera, svaka čast, e ovo se zove „u sitna crevca“... A ne kô ja, kad ispreskačem po nekoliko koraka...

Što se tiče grafika, pošto je kosinusna funkcija definisana nad celim skupom realnih brojeva, to će i ova funkcija biti definisana za svako realno [inlmath]x[/inlmath], a samim tim i za svako [inlmath]x[/inlmath] iz ovog intervala koji posmatramo.

Nule kosinusne funkcije su [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
tako da će nule ove naše funkcije biti
[dispmath]x+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\quad x\in\left[0,\pi\right][/dispmath]
[dispmath]x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\quad x\in\left[0,\pi\right][/dispmath]
[dispmath]x=0\quad\lor\quad x=\pi[/dispmath]

Pošto posmatramo [inlmath]x[/inlmath] na intervalu od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath], a argument kosinusa u ovoj funkciji je [inlmath]x+\frac{\pi}{2}[/inlmath], treba da posmatramo vrednost kosinusa pri promeni argumenta od [inlmath]0+\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\pi+\frac{\pi}{2}[/inlmath], tj. od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath].

Ako zamislimo trigonometrijski krug i pratimo promenu vrednosti kosinusa pri promeni njegovog argumenta od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], zapažamo da će u [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] vrednost kosinusa biti [inlmath]0[/inlmath], zatim će, s porastom argumenta, kosinus ići ka negativnim vrednostima, da bi za [inlmath]x=\pi[/inlmath] vrednost kosinusa bila najnegativnija i iznosila bi [inlmath]-1[/inlmath]. Daljim povećanjem [inlmath]x[/inlmath], vrednost kosinusa kreće nazad ka nuli, a nulu će ponovo dostići u [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].

Pošto se u našoj funkciji sve to još množi sa 4, dobijamo tri karakteristične tačke:

[inlmath]x=0:\quad f\left(x\right)=0[/inlmath]
[inlmath]x=\frac{\pi}{2}:\quad f\left(x\right)=-4[/inlmath]
[inlmath]x=\pi:\quad f\left(x\right)=0[/inlmath]

Pa bi grafik ove funkcije na intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right][/inlmath] izgledao ovako:

Au, PocetnikSRB, alal vera, svaka čast, e ovo se zove „u sitna crevca“... A ne kô ja, kad ispreskačem po nekoliko koraka...

Hahah Moj deo je bio laksi 10-ak puta, pa je lakse ici u detalje