MATEMANIJA

Broj resenja jednacine [inlmath]\sin^4x+\cos^7x=1[/inlmath] na intervalu [inlmath][-2\pi,\pi][/inlmath]

Kako se oslobadja ovih silnih stepenova?

[dispmath]\left(1-\cos^2 x\right)^2+\cos^7 x=1[/dispmath]Smena:
[inlmath]\cos x=t,\quad -1\le t\le 1[/inlmath][dispmath]\cancel 1-2t^2+t^4+t^7=\cancel 1[/dispmath][dispmath]t^7+t^4-2t^2=0[/dispmath][dispmath]t^2\left(t^5+t^2-2\right)=0[/dispmath][dispmath]t^2=0\quad\lor\quad t^5+t^2-2=0[/dispmath][dispmath]t=0\quad\lor\quad t^5+t^2-2=0[/dispmath]Izraz [inlmath]t^5+t^2-2[/inlmath] posmatramo kao funkciju od [inlmath]t[/inlmath]. Za maksimalnu vrednost [inlmath]t[/inlmath], tj. [inlmath]t=1[/inlmath], vrednost te funkcije iznosi [inlmath]0[/inlmath] i jednačina je tada zadovoljena. Ispitivanjem ove funkcije, njenih minimuma, maksimuma (traženjem njenih izvoda) može se utvrditi da će ona za [inlmath]t<1[/inlmath] uvek biti negativna, iz čega zaključujemo da je [inlmath]t=1[/inlmath] jedino rešenje jednačine [inlmath]t^5+t^2-2=0[/inlmath] kada je [inlmath]-1\le t\le 1[/inlmath].[dispmath]t=0\quad\lor\quad t=1[/dispmath][dispmath]\cos x=0\quad\lor\quad\cos x=1[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]

Jasno Seticu se valjda da treba da ispitam funkciju , ako bude bilo nesto slicno