MATEMANIJA

Odrediti broj resenja jednacine (4cos^2 x + cos x - 3)sqrt 5sin x = 0 , u intervalu [o,2π] ?

Ako može pojašnjenje, da li jednačina glasi[dispmath]\left(4\cos^2 x+\cos x-3\right)\sqrt 5\sin x=0\quad x\in\left[0,2\pi\right][/dispmath]ili glasi[dispmath]\left(4\cos^2 x+\cos x-3\right)\sqrt{5\sin x}=0\quad x\in\left[0,2\pi\right][/dispmath]

U svakom slučaju, radiš tako što postaviš uslov da je bar jedan od izraza, [inlmath]4\cos^2 x+\cos x-3[/inlmath], ili ovaj izraz desno od njega (kako god glasio), jednak nuli, pa rešavaš. U ovom izrazu levo možeš uvesti smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath], pa rešavati kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath], pri čemu vodiš računa o tome da je [inlmath]-1\le t\le 1[/inlmath], zato što je i [inlmath]-1\le\cos x\le 1[/inlmath].

Jednacina glasi po drugom postupku, sve je pod korenom: [inlmath]\sqrt{5\sin x}[/inlmath]

Meni nije jasno pitanje zadatka, "broj resenja jednacine". Da li ja trebam da kazem koliko resenja ima ili?

Nemke94 je napisao:Jednacina glasi po drugom postupku, sve je pod korenom: [inlmath]\sqrt{5\sin x}[/inlmath]

Aha, onda mora da se postavi i uslov da potkorena veličina nije negativna, tj. da je [inlmath]\sin x\ge 0[/inlmath], a to dalje znači da [inlmath]x\in\left[2k\pi, \pi+2k\pi\right][/inlmath], što u preseku s uslovom zadatka [inlmath]x\in\left[0,2\pi\right][/inlmath] daje [inlmath]x\in\left[0,\pi\right]\cup\left\{2\pi\right\}[/inlmath]. Znači, od rešenja koja dobijemo usvajamo samo ona koja zadovoljavaju [inlmath]x\in\left[0,\pi\right]\cup\left\{2\pi\right\}[/inlmath], ostala odbacujemo.

Nemke94 je napisao:Meni nije jasno pitanje zadatka, "broj resenja jednacine". Da li ja trebam da kazem koliko resenja ima ili?

Upravo tako. Znači, ne traži se koja su rešenja, već samo koliko ih ima.
Dobiju se rešenja [inlmath]x\in\left\{0,\arccos\frac{3}{4},\pi,2\pi\right\}[/inlmath], znači, ima ih ukupno [inlmath]4[/inlmath] na traženom intervalu.