MATEMANIJA

Pozdrav, novi sam na forumu. Izvinjavam se ako prekršim pravo foruma unaprijed. Imam jedan zadatak iz trigonometrije, kojeg pokušavam riješiti preko dvostrukog ugla ali ne ispadne mi dobar rezultat:
[dispmath]\sin^4\frac{5\pi}{12}+\cos^4\frac{7\pi}{12}=[/dispmath] Ako zapišem ovo kao:
[dispmath]\left(2\cdot\sin\frac{5\pi}{6}\cdot\cos\frac{5\pi}{6}\right)^4+\left(\cos^2\frac{7\pi}{6}-\sin^2\frac{7\pi}{6}\right)^4[/dispmath] dobijem;
[dispmath]\frac{9}{16}+\frac{1}{16}=\frac{10}{16}[/dispmath] A u zbirci je rešenje:
[dispmath]\frac{7}{8}[/dispmath] Ako sam nešto zabrljao, oprostite.

[dispmath]\sin^4\frac{5\pi}{12}+\cos^4\frac{7\pi}{12}=[/dispmath][dispmath]\sin^475^\circ+\cos^475^\circ=[/dispmath][dispmath]\left(\sin^275^\circ+\cos^275^\circ\right)^2-2\sin^275^\circ\cos^275^\circ\cdot\left(\frac{2}{2}\right)=[/dispmath]
[dispmath]1-\frac{1}{2}\left(\sin150^\circ\right)^2=[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]

A sad sam shvatio to kod tebe:
[dispmath]\sin^4\frac{5\pi}{12}+\cos^4\frac{7\pi}{12}=[/dispmath][dispmath]\left(2\sin\frac{5\pi}{\color{red}24}\cos\frac{5\pi}{\color{red}24}\right)^4+\left(\cos^2\frac{7\pi}{\color{red}24}-\sin^2\frac{7\pi}{\color{red}24}\right)^4[/dispmath]

^ Upravo tako. A može se uraditi i preko pomenute formule za polovinu ugla,
[dispmath]\left(\sin^2\frac{5\pi}{12}\right)^2+\left(\cos^2\frac{7\pi}{12}\right)^2=\\
\left(\frac{1-\cos\frac{5\pi}{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\cos\frac{7\pi}{6}}{2}\right)^2=\cdots[/dispmath]
@Tinjak.mirza
Bez brige, uneo sam ti korekcije u Latex (ovde imaš uputstvo kako šta da napišeš u Latexu) i stavio bolji naziv teme, ali je sve ostalo OK.

Daniele, samo ovde ti se omaklo u kucanju:
[dispmath]\left(\sin^2\frac{5\pi}{12}\right)^2=\left(\frac{1{\color{red}-}\cos\frac{5\pi}{6}}{2}\right)^2[/dispmath] A takođe, ako ti se, @Tinjak.mirza, da mnoziti onda moze i preko adicionih:
[dispmath]\sin\frac{5\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\cdots[/dispmath][dispmath]\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\cdots[/dispmath] I poslije je zadati izraz jednak:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)^4+\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)^4=\cdots[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{4^4}\left(\left(8+2\sqrt{12}\right)^2+\left(8-2\sqrt{12}\right)^2\right)=\cdots[/dispmath][dispmath]=\frac{224}{256}=\frac{7}{8}[/dispmath] Eto, dobio si 3 nacina

Ojler79532 je napisao:Daniele, samo ovde ti se omaklo u kucanju:
[dispmath]\left(\sin^2\frac{5\pi}{12}\right)^2=\left(\frac{1{\color{red}-}\cos\frac{5\pi}{6}}{2}\right)^2[/dispmath]

Zahvaljujem. Korigovao sam, kako ne bi došlo do zabune.

Zahljavujem vam se. Zadatak je urađen

Tinjak.mirza je napisao:[dispmath]\sin^4\frac{5\pi}{12}+\cos^4\frac{7\pi}{12}=[/dispmath]

Evo jednog elegantnog nacina za resavanje:
Prvo mozemo primetiti da [inlmath]\cos^4\frac{7\pi}{12}[/inlmath] mozemo zapisati u obliku
[dispmath]\cos^4\frac{7\pi}{12}=\cos^4\left(\pi-\frac{5\pi}{12}\right)=\cos^4\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\cos^4\frac{5\pi}{12}[/dispmath] Sada se izraz svodi na
[dispmath]\sin^4\frac{5\pi}{12}+\cos^4\frac{5\pi}{12}[/dispmath] To jest
[dispmath]\left(\sin^2\frac{5\pi}{12}+\cos^2\frac{5\pi}{12}\right)^2-2\sin^2\frac{5\pi}{12}\cos^2\frac{5\pi}{12}=1-\frac{\sin^2\frac{5\pi}{6}}{2}=\frac{2-\sin^2150^\circ}{2}[/dispmath][dispmath]=\frac{2-\frac{1}{4}}{2}=\frac{\frac{8-1}{4}}{2}=\frac{7}{8}[/dispmath] Prema tome
[dispmath]\enclose{box}{\sin^4\frac{5\pi}{12}+\cos^4\frac{7\pi}{12}=\frac{7}{8}}[/dispmath] Vrlo fin zadatak.....