MATEMANIJA

Imam problem sa zapisivajem resenja jednacine [inlmath]\;\sin x+\sin5x=2[/inlmath].
Moj postupak resavanja zadatka je sledeci:
[dispmath]\sin x+\sin5x=2[/dispmath][dispmath]\sin x=1\hspace{1cm}\land\hspace{1cm}\sin5x=1[/dispmath] Da je jedan od sabiraka [inlmath]\le1[/inlmath] onda bi drugi sabirak bio [inlmath]\ge1[/inlmath] sto prelazi granicu sinusa [inlmath][-1,1][/inlmath], sto znaci da oba moraju imati vrednost [inlmath]1[/inlmath].
[dispmath]x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\hspace{1cm}\land\hspace{1cm}x=\frac{\pi}{10}+2m\pi[/dispmath] Ova dva iskaza se nalaze u konjunkciji (oba moraju biti ispunjena istovremeno) i zbog toga je neophodno uzeti razlicite celobrojne umnoske (u ovom slucaju [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]). Izjednacavanjem desnih strana dobija se da je
[dispmath]m=5n-1[/dispmath] Ne znam sta dalje. Ako [inlmath]m[/inlmath] zapisem kao [inlmath]5k-1[/inlmath], a potom zamenim u [inlmath]\frac{\pi}{10}+2m\pi[/inlmath] ne dobijem kao u resenjima.
Resenje zadatka je: [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath].

Treba da se dobije
[dispmath]x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\quad\land\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2m\pi}{5}[/dispmath] odakle se dobije [inlmath]m=5n+1[/inlmath].

To će dati ispravno rešenje.

Kao dopunu ovom svom odgovoru na drugoj temi, a koji se tiče i ovog zadatka, priložiću i grafički način rešavanja, kod kojeg se koristi samo jedna oznaka za celobrojni umnožak ([inlmath]k[/inlmath]). Možeš raditi i tako ako ti je lakše.

Na sledeće dve trigonometrijske kružnice su grafički prikazani skupovi rešenja za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] (kružnica levo) i [inlmath]x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath] (kružnica desno):


Odavde se jasno vidi da će presek ta dva skupa rešenja biti jednak skupu koji je ucrtan na levoj kružnici, tako da je konačan skup rešenja upravo taj: [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]