Pozdrav, prvi put pišem na forumu pa se nadam da ću ispoštovati sva pravila pri pisanju i otvaranju ove teme. Naime, trebala bih pomoć za zadatak vezan uz inverzne trigonometrijske funkcije. Zadatak je vrlo vjerovatno poprilično banalan, međutim ne pronalazim odgovarajući odgovor na moje pitanje u zbirkama ni na internetu.
Zadatak glasi: Dokazati da je
[dispmath]2\arctan2-\arctan7=\frac{\pi}{4}[/dispmath] Na fakultetu ovaj tip zadataka radimo iz dva dijela, tj. u prvom dijelu se dokazuje jednakost
[dispmath]\tan\bigl((2\arctan2)-\arctan7\bigr)=1[/dispmath] S ovim dijelom zadatka nemam problema, ali napisala sam ga da imate uvid kako i šta. Drugi dio rješavanja je dio koji me buni. U drugom dijelu se traži skup u kojem je ugao [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] takav da je [inlmath]\tan x[/inlmath] tog ugla jednak [inlmath]1[/inlmath]. U drugim primjerima gdje je vrijednost [inlmath]\tan x[/inlmath] između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], pisalo bi se da je funkcija [inlmath]\arctan x[/inlmath] rastuća funkcija i nakon toga bi se napisalo da je [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] pri čemu je [inlmath]x_1[/inlmath] vrijednost ugla od [inlmath]\arctan x[/inlmath], a [inlmath]x_2[/inlmath] vrijednost ugla [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Nakon čega bi se dobio interval za svaki [inlmath]\arctan x[/inlmath] pojedinačno. Na samom kraju se traži interval, tj skup vrijednosti za cijelu jednakost, u ovom slučaju za [inlmath]2\arctan2-\arctan7[/inlmath].
Moja pretpostavka kako bi trebao da ide ovaj zadatak je sljedeća:
[dispmath]\arctan2\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\\
\arctan7\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\\
2\arctan2-\arctan7\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)[/dispmath] Dalje, pretpostavljam da bi trebalo napisati da je [inlmath]\arctan x[/inlmath] opadajuća funkcija (jer mi nije logično da bude [inlmath]2<1[/inlmath], nego obratno) i da je [inlmath]x_1>x_2[/inlmath]. Što bi dalo sljedeće:
[dispmath]\arctan2>\arctan1[/dispmath] U ovom dijelu zapnem i ne znam da nastavim. Moje mišljenje da je interval ove nejednakosti [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath]. Isto tako, pretpostavljam da bi bilo i za [inlmath]\arctan7[/inlmath]. Dva su pitanja, da su moje pretpostavke tačne i kako bi glasio konačni skup?
Hvala na pomoći, nadam se da nisam previše konfuzno i predetaljno napisala šta mi nije jasno.

Sarah54 je napisao:U drugom dijelu se traži skup u kojem je ugao [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] takav da je [inlmath]\tan x[/inlmath] tog ugla jednak [inlmath]1[/inlmath].

Ne razumem šta si ovime htela reći, pa ugao [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] je uvek takav da je [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] tog ugla jednak [inlmath]1[/inlmath], valjda?

Sarah54 je napisao:[dispmath]\arctan2\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\\
\arctan7\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)[/dispmath]

Ovo je pogrešno, [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] pozitivnih vrednosti mora takođe biti pozitivna vrednost. Kodomen funkcije [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] (tj. skup vrednosti koje ta funkcija može imati) jeste interval [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]. Za pozitivne vrednost [inlmath]x[/inlmath], vrednost [inlmath]\text{arctg }x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath].
Možeš pogledati grafik arkus tangensa u ovom postu.

Sarah54 je napisao:Dalje, pretpostavljam da bi trebalo napisati da je [inlmath]\arctan x[/inlmath] opadajuća funkcija (jer mi nije logično da bude [inlmath]2<1[/inlmath], nego obratno)

Arkus tangens je monotono rastuća funkcija na celom intervalu realnih brojeva, što možeš i videti na pomenutom linku.
Dakle, budući da je [inlmath]\text{arctg }1=\frac{\pi}{4}[/inlmath], onda sledi, pošto je [inlmath]2>1[/inlmath], da [inlmath]\text{arctg }2[/inlmath] mora biti veće od [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath].

Suština je u sledećem. Time što smo dokazali da je [inlmath]\text{tg }(2\text{ arctg }2-\text{arctg }7)=1[/inlmath] mi smo samo dokazali da je vrednost [inlmath]2\text{ arctg }2-\text{arctg }7[/inlmath] oblika [inlmath]\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] ([inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath], pri čemu ne znamo koliko je [inlmath]k[/inlmath]), tj. da pripada skupu [inlmath]\left\{\cdots,-\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\cdots\right\}[/inlmath] zavisno od vrednosti [inlmath]k[/inlmath]. Ono što je preostalo, to je da odredimo tačnu vrednost [inlmath]k[/inlmath], i time tačnu vrednost posmatranog izraza.
Kao što smo zaključili, i [inlmath]\text{arctg }2[/inlmath] i [inlmath]\text{arctg }7[/inlmath] su sigurno veći od [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. S druge strane, sigurno su manji od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] s obzirom na interval vrednosti arkus tangens funkcije. Prema tome, vrednost izraza [inlmath]2\text{ arctg }2-\text{arctg }7[/inlmath] mora biti veća od [inlmath]2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}[/inlmath] (što iznosi [inlmath]0[/inlmath]), a istovremeno mora biti manja od [inlmath]2\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}[/inlmath] (što iznosi [inlmath]\frac{3\pi}{4}[/inlmath]).
Na kraju je ostalo samo uočiti za koje [inlmath]k[/inlmath] će vrednost [inlmath]\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] pripadati intervalu [inlmath]\left(0,\frac{3\pi}{4}\right)[/inlmath].

Pozdrav, izvinjavam se za kasno odgovaranje. Hvala na pomoci puno, dio koji mi nije bio jasan ste objasnili. Shvatila sam i sama poslije da sam pogresno pretpostavila za interval. Jos jednom, hvala puno